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■47964 / 親記事)  どう並べ替えても一部を取り出しても素数
□投稿者/ shtainze 一般人(1回)-(2017/05/12(Fri) 17:07:52)
    n進法におけるk桁 (k: 4以上) の数で、下記の条件を満たす例を挙げよ。あるいは、必要条件を挙げよ。
    ・各桁の数をどう並べ替えても素数になる
    ・一部の桁のみを取り出した数も、どう並べ替えても素数になる

    マルチ投稿ですが、毎日確認して、何か回答を頂き次第こちらの掲示板にも反映させます。また、ご回答が得られない期間が1週間続いた時点でフォローを止めさせて頂きます。その際はこちらにメッセージを残します。どうぞ宜しくお願い致します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■47965 / ResNo.1)  Re[1]: どう並べ替えても一部を取り出しても素数
□投稿者/ shtainze 一般人(2回)-(2017/05/12(Fri) 17:08:50)
    No47964に返信(shtainzeさんの記事)
    なお、以下は私が考えて分かった範囲です。
    kが2の時は、例えば、10進法における37が当てはまります。(37, 73, 3, 7が全て素数)
    kが3の時は例えば、246進法に最小の例があり、その時の各桁の数は31, 101, 191となります。(3桁、2桁、1桁の組み合わせの合計15通りの数が全て素数となる)
    素数定理が正しいとすれば、どんなに大きなkに対しても、n進法においてそのような例が出現する確率は少なく見積もってもO (1/(lognの累乗))となります。これは十分大きなnに対して必ずそのような例が出現し、かつ以降も無限に出現することを示唆しています。

    ただし、その確率の絶対値はかなり小さいので、kが4の時は数値計算による求解は不可能であり、何らかの定性的な絞込が必要となります。

    他には各桁が素数となる事(1桁の場合を考えれば自明)と、あと、modを使って多少の絞り込みができる事が判明している程度です。

    ・この問題のために群論も少しかじりましたが、群論は「桁を並べ替える」とか「一部の桁を取り出す」等の操作に関してはあまりパワーを発揮しないようです。(←誤解があればご指摘下さい)
    ・permutable primeについても少し調べましたが、今回はそれよりかなり強い条件を要請しているのであまり役立たない気がします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47968 / ResNo.2)  Re[1]: どう並べ替えても一部を取り出しても素数
□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2017/05/14(Sun) 18:07:01)
    2017/05/14(Sun) 22:48:25 編集(投稿者)

    # 回答でも関連情報でもなく、ただの感想文ですのでご了承ください。

    スレ主さんは何進法かということに拘っているようですが、
    何進法かということは自然数の位取り表記法の都合であり、その自然数の値とは無関係です。
    この質問の件は以下の様に、何進法かに無関係な問題に定式化でます。

    kを4以上の自然数としてk個の素数p[1], p[2], ・・・, p[k]と、1より大きい自然数nがある。
    但し、各素数の値はn未満とする。このときnのk-1次以下の整式で、
    係数はp[1], p[2], ・・・, p[k]のどれかとする時の値が常に素数となるように、
    p[1], p[2], ・・・, p[k]を選ぶことができるか?

    p[1], p[2], ・・・, p[k]の中に同一の素数は存在しません。
    何故なら、p[1] = p[2]とするとp[1]*n+p[2] = p[1](n+1)と合成数になってしまうからです。

    n進法という考えだと、1進法というのは存在しないのでn > 1となってしまいますが、
    私が定式化した記述ならn = 1の場合も考えてみても面白いかもしれませんね。
    p[a]*n+p[b]とp[b]*n+p[a]は、n > 1なら違う値でしょうが、n = 1なら同じ値になりますけどね。

    また、n進位取り記数法だから、p[1]〜p[k]はn未満の値である必要がありますが、
    このn未満という条件を取り去った問題を考えてみても面白いかもしれません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47971 / ResNo.3)  Re[2]: どう並べ替えても一部を取り出しても素数
□投稿者/ shtainze 一般人(3回)-(2017/05/14(Sun) 21:39:33)
    No47968に返信(WIZさんの記事)
    > この質問の件は以下の様に、何進法かに無関係な問題に定式化でます。
    →いかにもその通りです。私が進法にこだわったのは、プログラミングによって候補を探していた時の名残です。
    p1 < p2 < p3 < p4 < nを守る事にすると、nを中心にしてアルゴリズムを組むのが最も理にかなう方法になるのです。 (n = 2kに対してnより小さいp1, p2, p3, p4を列挙して多項式が素数になるかサーチ、次に同じことをn = 2k+2に対して行い、同様にn = 2k+4, 2k+6,,, とだんだん増やしていく)

    > また、n進位取り記数法だから、p[1]〜p[k]はn未満の値である必要がありますが、
    > このn未満という条件を取り去った問題を考えてみても面白いかもしれません。
    おっしゃる通りp1, p2, p3,,, < nは一般化すれば外しても良いですね。外さなかったのは私がこの問題を思いついた由来によります。
    Wikipediaの様々な素数の記載を見ていた時に、
    ・circular prime (お尻のケタを頭にもってくる事を繰り返しても全て素数)
    ・truncatable prime (端っこからケタを切り落としていっても全て素数)
    ・permutable prime (どう並べ替えても素数)
    などなどの数遊びがあったのですが、「では最も一般化した形態はなんだろう?」と考えた所、この形態を思いついたというわけです。ということで位取り記数法にこだわっています。
    また、上記のプログラミングによるサーチとも関連しますが、この制限を外すと一気にプログラミングが困難になってきます (n, p1, p2, p3, p4のうち少なくとも2つが大小関係なく大きくなれるため、サーチの方向が決めにくい)。


    さて、見つかるもんでしょうかね・・・

    ># 回答でも関連情報でもなく、ただの感想文ですのでご了承ください。
    →正解があるとしても求めるのは非常に困難な事が予想されます。なにしろ、4ケタ: 24通り、3ケタ: 24通り、2ケタ: 12通り、4ケタ: 4通り、の合計64個の数が全て同時に素数にならないといけないので、それだけでも極めて低い確率であることは明らかですね。
    にも関わらず、素数定理 (nが素数である確率はザックリと1/Log (n) ) を用いてそのような確率を求めると、チリも積もれば山となり、10^90進法程度までサーチすれば必ず1つは存在する事が示唆されるということで、中々奥深いですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47972 / ResNo.4)  Re[2]: どう並べ替えても一部を取り出しても素数
□投稿者/ shtainze 一般人(4回)-(2017/05/14(Sun) 21:40:28)
    いずれにしても、返信を下さり本当にありがとうございます。私の趣味にお付き合いいただけてとても嬉しいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47981 / ResNo.5)  Re[3]: どう並べ替えても一部を取り出しても素数
□投稿者/ shtainze 一般人(5回)-(2017/05/21(Sun) 09:14:08)
    1週間経ちましたがご回答が得られないので終了とさせて頂きます。(難しいですよね・・・)
    またお世話になることがあるかもしれませんが宜しくお願い致します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47963 / 親記事)  平方数の和(mod p)、個数
□投稿者/ 大倉 一般人(1回)-(2017/05/12(Fri) 16:49:52)
    pを奇素数として、Fp:={1,2,3,...,p}とします。
    #{(a,b,c,d)∈(Fp)^4|a^2+b^2+c^2+d^2≡1 (mod p)}
    はいくらになるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47953 / 親記事)  放物線と円
□投稿者/ 昼顔 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 20:42:26)
    aを正の実数とし、xy平面上で
    y≧x^2 かつ (x-a)^2+y^2≦a^2
    をみたす領域の面積をS(a)とする。
    lim[a→∞]S(a)/aを求めよ。

    教えて下さい!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47957 / ResNo.1)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2017/05/11(Thu) 12:34:28)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 ということは、点(x, y)は中心(a, 0)で半径aの円の周及び内部です。

    (x-a)^2+y^2 ≦ a^2
    ⇒ y^2 ≦ 2ax-x^2
    ⇒ -√(2ax-x^2) ≦ y ≦ √(2ax-x^2)

    もう一つの条件の y ≧ x^2 がありますが、-√(2ax-x^2) ≦ 0 ≦ x^2 なので、
    題意の領域は放物線 y = x^2 と 円 (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 で囲まれたものとなります。

    y = x^2 と y^2 = 2ax-x^2 の交点は、x = 0 と 0 < x < 2aの範囲となり、
    x^4 = 2ax-x^2 ⇒ x(x^3+x-2a) = 0 から、0 < x < 2aの範囲の交点のx座標をtとすると、
    t は x^3+x-2a = 0 の根です。

    カルダーノの公式を使えば、x^3+x-2a = 0 の実根は、
    t = {a+√((1/3)^3+a^2)}^(1/3)+{a-√((1/3)^3+a^2)}^(1/3) です。

    S(a) = ∫[0, t]{(√(2ax-x^2))-x^2}dx
    = ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx-[(x^3)/3]_[0, t]
    = ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(t^3)/3
    = ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(2a-t)/3

    x-a = a*sin(u)と置換すると、uの積分範囲は[-π/2, arcsin((t-a)/a)]で、dx/du = a*cos(u)です。
    計算が煩雑になるので、T = arcsin((t-a)/a)とおきます。-a < t-a < aなので、-π/2 < T < π/2です。
    また、-π/2 ≦ u ≦ T < π/2の範囲で、cos(u) ≧ 0です。
    よって、cos(T) = √{1-sin(T)^2} = √{1-((t-a)/a)^2} = (1/a)√(2at-t^2) = (1/a)√(t(2a-t)) = (1/a)√(t(t^3))) = (1/a)t^2です。

    ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = ∫[-π/2, T]{a*cos(u)}(a*cos(u))du
    = (a^2)∫[-π/2, T]{cos(u)^2}du
    = (a^2)∫[-π/2, T]{(1+cos(2u))/2}du
    = (a^2)(1/2)[u+sin(2u)/2]_[-π/2, T]
    = (a^2)(1/2){T+(1/2)sin(2T)-(-π/2)-(1/2)sin(2*(-π/2))}
    = (a^2)(1/2){T+sin(T)cos(T)+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+((t-a)/a)((1/a)t^2)+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(t^3-a(t^2))+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(2a-t-a(t^2))+π/2}

    ここで、sin(T+π/2) = cos(T) = (1/a)t^2 ですから、T+π/2 = arccos((1/a)t^2) です。
    よって、∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))

    以上から、私が計算間違いしていなければ、
    S(a) = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))-(2a-t)/3
    = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/6)(2a-t-3a(t^2))
    となり、
    これに、t = {a+√(1/27+a^2)}^(1/3)+{a-√(1/27+a^2)}^(1/3) を代入して、
    lim[a→∞]{S(a)/a} を計算できるかもしれませんが・・・心が折れました。

    # もっと簡単な方法があるに違いない!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47958 / ResNo.2)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2017/05/11(Thu) 12:58:15)
    2017/05/11(Thu) 12:59:22 編集(投稿者)

    y=x^2と(x-a)^2+y^2≦a^2の交点を(t,t^2)としてaを求めると
    a=(t^3+t)/2
    条件を満たす領域をy=txで二つに分けて考えると
    y=txと放物線で挟まれる方の面積は
    ∫[0〜t]tx-x^2 dx=t^3/6 なので
    lim[t→∞](t^3/6)/a=1/3
    y=txと円で挟まれる方は
    扇形の中心角をθとするとt=(cosθ+1)/(sinθ)となり
    (扇形)/a=aθ/2=(t^3+t)/2・θ/2=((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ/4
    (二等辺三角形)/a=t^2/2=(cosθ+1)^2/(2(sinθ)^2)
    なので
    lim[a→∞]{(扇形)-(二等辺三角形)}/a
    =lim[θ→+0]{((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ-2(cosθ+1)^2/(sinθ)^2}/4
    =lim[θ→+0](cosθ+1)^2(θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)
    =1/3
    (∵lim[θ→+0](θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)=lim[θ→+0](1-cosθ)/(6cosθ(sinθ)^2)
     =lim[θ→+0]1/(-6(sinθ)^2+12(cosθ)^2)=1/12)
    従って
    lim[a→∞]S(a)/a=1/3+1/3=2/3

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47969 / ResNo.3)  Re[2]: 放物線と円
□投稿者/ 昼顔 一般人(2回)-(2017/05/14(Sun) 20:12:06)
    お二人ともありがとうございます!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47951 / 親記事)  四角形
□投稿者/ メルシー・マダム 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 18:34:58)
    2017/05/10(Wed) 20:06:22 編集(投稿者)

    a,b,c,dをa>0,b>0,c<0,d<0をみたす実数とし、
    座標平面上にA(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)をとる。
    線分ABと線分CDの垂直二等分線の交点が存在して、
    しかもそれが四角形ABCDの内部に存在するための、
    a,b,c,dに関する(簡単な)必要十分条件って何ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47959 / ResNo.1)  Re[1]: 四角形
□投稿者/ メルシー・マダム 一般人(2回)-(2017/05/11(Thu) 20:20:23)
    もしかして簡単には表せないのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47962 / ResNo.2)  Re[1]: 四角形
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2017/05/12(Fri) 00:12:01)
    ABの垂直二等分線は (x,y)=(a/2-bs,b/2-as)
    (ただしs=0のときABの中点、s>0で四角形の内部方向)
    CDの垂直二等分線は (x,y)=(c/2-dt,d/2-ct)
    (ただしt=0のときCDの中点、t>0で四角形の内部方向)
    2直線からtを消去すると (bc-ad)s=(ac-bd-c^2+d^2)/2
    2直線からsを消去すると (ad-bc)t=(ac-bd-a^2+b^2)/2
    ad-bc=0のとき2直線は平行(または一致)で
    交点を持つ(すなわち2直線が一致する)のは
    ac-bd-c^2+d^2=0 かつ ac-bd-a^2+b^2=0
    すなわちa=bかつc=dのとき
    ad-bc≠0のとき
    s=(ac-bd-c^2+d^2)/{2(bc-ad)}
    t=(ac-bd-a^2+b^2)/{2(ad-bc)}
    このs,tが正であれば交点が四角形の内部にある。
    (s,tが正であれば交点が直線ABと直線CDの間にあり、
     またそのとき条件から必ず直線ADと直線BCの間になる(証明略)。)
    よって求める必要十分条件は
    「a=bかつc=d」または
    「ad-bc>0かつa^2-b^2<ac-bd<c^2-d^2」または
    「ad-bc<0かつc^2-d^2<ac-bd<a^2-b^2」

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47966 / ResNo.3)  Re[1]: 四角形
□投稿者/ メルシー・マダム 一般人(3回)-(2017/05/12(Fri) 17:56:53)
    有難うございます。
    この結果、使わせていただきます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47948 / 親記事)  複素数の計算
□投稿者/ FEED 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 11:26:02)
    aを0でない実数または純虚数、
    zを0でない複素数とするとき、
    |az-1/(az)+2i|-|az-1/(az)-2i|
    の値をaを使わずにあらわしたいです。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47949 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数の計算
□投稿者/ みずき 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 16:56:41)
    f(a,z)=|az-1/(az)+2i|-|az-1/(az)-2i|とおきます。

    f(a,z)がaを使わずに表せる
    ⇒f(a,z)がzのみで表せる
    ⇒zを固定するとaの値にかかわらずf(a,z)は一定値をとる

    例えば f(1,1+i)=2√2≠-2√2=f(-1,1+i) なので
    f(a,z)はaを使わずには表せないと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47950 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数の計算
□投稿者/ FEED 一般人(2回)-(2017/05/10(Wed) 18:28:56)
    aの値による場合分けはあるかもしれません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47952 / ResNo.3)  Re[3]: 複素数の計算
□投稿者/ みずき 一般人(2回)-(2017/05/10(Wed) 19:27:31)
    なるほど。分かりました。

    z=x+yi(x,yは実数)とおきます。

    場合1:aが実数のとき
    f(a,z)=|ax+ayi-1/(ax+ayi)+2i|-|ax+ayi-1/(ax+ayi)-2i|
    =|ax+ayi-(x-yi)/(a(x^2+y^2))+2i|-|ax+ayi-(x-yi)/(a(x^2+y^2))-2i|
    =√((ax-x/(a(x^2+y^2)))^2+(ay+y/(a(x^2+y^2))+2)^2)
    -√((ax-x/(a(x^2+y^2)))^2+(ay+y/(a(x^2+y^2))+2)^2)
    =√(((a^2(x^2+y^2)+2ay+1)/(a√(x^2+y^2)))^2)
    -√(((a^2(x^2+y^2)-2ay+1)/(a√(x^2+y^2)))^2)
    =|a|z|+1/(a|z|)+2y/|z||-|a|z|+1/(a|z|)-2y/|z||
    ここで
    |a|z|+1/(a|z|)|≧2かつ|2y/|z||≦2に注意して
    a>0のとき 
    f(a,z)=(a|z|+1/(a|z|)+2y/|z|)-(a|z|+1/(a|z|)-2y/|z|)=4y/|z|=4Im(z)/|z|
    a<0のとき
    f(a,z)=-(a|z|+1/(a|z|)+2y/|z|)+(a|z|+1/(a|z|)-2y/|z|)=-4y/|z|=-4Im(z)/|z|

    場合2:aが純虚数のとき、a=bi(bは0でない実数)とおいて
    f(a,z)=|bi(x+yi)-1/(bi(x+yi))+2i|-|bi(x+yi)-1/(bi(x+yi))-2i|
    =|bxi-by+(y+xi)/(b(x^2+y^2))+2i|-|bxi-by-(y+xi)/(b(x^2+y^2))-2i|
    =√((-by+y/(b(x^2+y^2)))^2+(bx+x/(b(x^2+y^2))+2)^2)
    -√((-by+y/(b(x^2+y^2)))^2+(bx+x/(b(x^2+y^2))-2)^2)
    =√(((b^2(x^2+y^2)+2bx+1)/(b√(x^2+y^2)))^2)
    -√(((b^2(x^2+y^2)-2bx+1)/(b√(x^2+y^2)))^2)
    =|b|z|+1/(b|z|)+2x/|z||-|b|z|+1/(b|z|)-2x/|z||
    ここで
    |b|z|+1/(b|z|)|≧2かつ|2x/|z||≦2に注意して
    b>0のとき
    f(a,z)=(b|z|+1/(b|z|)+2x/|z|)-(b|z|+1/(b|z|)-2x/|z|)=4x/|z|=4Re(z)/|z|
    b<0のとき
    f(a,z)=-(b|z|+1/(b|z|)+2x/|z|)+(b|z|+1/(b|z|)-2x/|z|)=-4x/|z|=-4Re(z)/|z|
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47954 / ResNo.4)  Re[4]: 複素数の計算
□投稿者/ FEED 一般人(3回)-(2017/05/10(Wed) 20:58:55)
    有り難うございます。
    計算を丁寧に書いていただいたので、とてもよく分かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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