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■52679 / 親記事) 　確率
□投稿者/ たける 一般人(1回)-(2025/02/09(Sun) 06:34:08)
    サイコロをn回ふって6の目が連続でm回以上出る確率と
    サイコロをn+1回ふって同じ目が連続でm+1回以上出る確率は
    どちらが大きいか知りたいです。
    理由もあわせて教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52812 / ResNo.1) 　Re[1]: 確率
□投稿者/ muturajcp 一般人(16回)-(2025/04/13(Sun) 09:43:27)
    1≦m≦n
    k=0～n-mに対して
    6以外の目がk回出る確率が(5/6)^kその後6の目が連続でm回出る確率は1/6^m
    だから
    サイコロをn回ふって6の目が連続でm回以上出る確率は

    (1/6^m)Σ[k=0～n-m](5/6)^k　…①
    ------------------------------------------
    サイコロをn+1回ふって同じ目が連続でm+1回以上出る確率は

    m=1のとき

    1回目と2回目が同じ目が出る確率は(1/6)

    k=1～n-1に対して
    k回目とk+1回目が異なる目が出る確率(5/6)^k
    n回目とn+1回目が同じ目が出る確率は(1/6)

    (1/6)+(1/6)Σ[k=1～n-1](5/6)^k
    =
    (1/6^m)Σ[k=0～n-m](5/6)^k
    となって①に等しい
    ---
    n-m≦1のとき

    1～m+1回目が同じ目が出る確率は(1/6^m)

    n-m=1のとき
    1回目と2回目が異なる目が出る確率(5/6)
    n+1-m～n+1回目が同じ目が出る確率は(1/6^m)

    (1/6^m)+(1/6^m)(5/6)
    =
    (1/6^m)Σ[k=0～n-m](5/6)^k
    となって①に等しい
    ---
    m=2
    n=4
    のとき
    サイコロを4+1回ふって同じ目が連続で2+1回以上出る確率は
    aaa
    (1/6^2)
    baaa
    (5/6)(1/6^2)
    bbaaa
    (1/6)(5/6)(1/6^2)
    bcaaa
    (5/6)(5/6)(1/6^2)

    (1/6^2){1+2(5/6)}
    >
    (1/6^2){1+(5/6)+(5/6)^2}
    だから

    サイコロを4回ふって6の目が連続で2回以上出る確率より大きい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52814 / ResNo.2) 　Re[2]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2025/04/13(Sun) 12:10:23)
    例えばn=5,m=2のとき
    3,6,4,6,6
    でも「6の目が連続でm回以上出」たことになるのでは？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52815 / ResNo.3) 　Re[3]: 確率
□投稿者/ muturajcp 一般人(17回)-(2025/04/13(Sun) 16:16:37)
    間違えました取り消します

    m=1　のとき
    1≦m≦n
    k=0～n-mに対して
    6以外の目がk回出る確率が(5/6)^kその後6の目が連続でm回出る確率は1/6^m
    だから
    サイコロをn回ふって6の目が連続でm回以上出る確率は

    (1/6^m)Σ[k=0～n-m](5/6)^k　…①
    は
    m=1のときしか成り立ちませんでした

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]


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■52561 / 親記事) 　52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ スフィンクス 一般人(3回)-(2024/07/09(Tue) 10:38:27)
    　興味深い問題なので勉強中なのですが、式変形がよくわかりません。


    √(3n)=√(3・2^p・3^q・N)≦(p+1)(q+1)・N^(log[5]2) を解くと

    N≦{(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)}^{1/(1-log[5]4)} … (1)

    -------------
    　この式変形がさっぱりわかりません。Word に書き写してみましたが、それでもわかりません。


652×290 => 250×111

1720489107.png/186KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■52562 / ResNo.1) 　Re[1]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2024/07/09(Tue) 16:41:09)
    1行目はいいとして、その後すぐに
    両辺をN^(2log[5]2)で割って
    Nを1個にすれば解けます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52563 / ResNo.2) 　Re[2]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ スフィンクス 一般人(4回)-(2024/07/09(Tue) 20:39:05)
    ■No52562に返信(らすかるさんの記事)
    > 1行目はいいとして、その後すぐに
    > 両辺をN^(2log[5]2)で割って
    > Nを1個にすれば解けます。

    　こうですか？

550×234 => 250×106

1720525145.png/126KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52564 / ResNo.3) 　Re[3]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2024/07/09(Tue) 23:01:13)
    はい、その通りです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52565 / ResNo.4) 　Re[4]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ スフィンクス 一般人(5回)-(2024/07/10(Wed) 11:06:37)
    　ありがとうございました。証明全体もなんとか理解できました。しかし、難しいですね。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52804 / ResNo.5) 　Re[5]: 52545の「約数の個数」の式変形について
□投稿者/ 一万円 一般人(1回)-(2025/04/05(Sat) 05:07:56)
http://youtu.be/EAaUqx87TsQ
    これ今年の一橋大学に出ましたね
    的中
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-5]


■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■52538 / 親記事) 　約数の個数
□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(1回)-(2024/06/07(Fri) 19:39:01)
    自然数nで約数の個数が√(3n)以上となるものを全て求めよ。

    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■52544 / ResNo.2) 　Re[2]: 約数の個数
□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(2回)-(2024/06/11(Tue) 20:22:47)
    他には無いのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52545 / ResNo.3) 　Re[3]: 約数の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2024/06/12(Wed) 19:10:40)
    n=2^p・3^q・N（p,qは非負整数、Nは2でも3でも割り切れない自然数）とすると
    Nの素因数は最小で5なのでNの素因数の個数はlog[5]N以下
    Nの素因数がk個のとき、約数の個数が最大となるのは
    k個の素因数がすべて異なるときで、2^k個
    従って自然数nの約数の個数は
    (p+1)(q+1)・2^(log[5]N)=(p+1)(q+1)・N^(log[5]2)以下
    √(3n)=√(3・2^p・3^q・N)≦(p+1)(q+1)・N^(log[5]2) を解くと
    N≦{(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)}^{1/(1-log[5]4)} … (1)
    f(p)=(p+1)^2/2^pはp=2/log2-1≒1.88539のとき極大でf(1)=2,f(2)=9/4,f(3)=2なので
    非負整数pに対してf(p)の最大値はf(2)=9/4
    g(q)=(q+1)^2/3^(q+1)はq=2/log3-1≒0.82048のとき極大でg(0)=1/3,g(1)=4/9,g(2)=1/3なので
    非負整数qに対してg(q)の最大値はg(1)=4/9
    1/(1-log[5]4)＞1なので
    (p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)＜1のとき(1)の右辺が1未満となり解なし
    従って(1)を満たす解はp=2かつq=1かつN=1のみなので、元の問題の解はn=12のみ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52546 / ResNo.4) 　Re[4]: 約数の個数
□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(3回)-(2024/06/13(Thu) 13:23:05)
    理解出来ました。
    有難うございます。

    素因数の個数を(ω(n)ではなく)Ω(n)の意味で使っているんですね。
    //ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52568 / ResNo.5) 　Re[3]: 約数の個数
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/07/14(Sun) 09:54:41)
    x(p)≧0は整数
    n=Π[pは素数]p^{x(p)}
    とする
    √(3n)≦Π{pは素数}{1+x(p)}
    ↓両辺を2乗すると
    3n≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2
    ↓
    3Π[pは素数]p^{x(p)}≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2
    ↓
    3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}

    f{p}(x)=(1+x)^2/p^x
    とすると
    f'{p}(x)=(1+x){2-(1+x)logp}/p^x
    x>2/logp-1のときf'{p}(x)<0だからf{p}(x)は減少
    f{p}(0)=1
    f{2}(1)=2

    p=2のときx≧2>2/log2-1のときf{2}(x)は減少
    (1+x)^2/2^x≦f{2}(2)=9/4
    f{2}(x)はx=2で最大値9/4になる

    p≧3のときx≧1>2/log-1のときf{p}(x)は減少

    p=3のとき
    (1+x)^2/3^x≦f{3}(1)=4/3
    f{3}(x)はx=1で最大値4/3になる

    p≧5のとき
    f{p}(1)=4/p<1=f{p}(0)
    (1+x)^2/p^x≦f{p}(0)=1
    f{p}(x)はx=0で最大値1になる

    3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}≦f{2}(2)f{3}(1)Π{素数p≧5}f{p}(0)=(9/4)(4/3)・1=3
    ∴
    n=2^2・3^1=12
1000×1000 => 250×250

m202406281353.jpg/99KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52803 / ResNo.6) 　Re[4]: 約数の個数
□投稿者/ コスモス 一般人(1回)-(2025/04/05(Sat) 05:06:20)
http://youtu.be/bAXJTnlD1Cg
    これ今年の一橋に出たんですね
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52798 / 親記事) 　高校数学 確率の問題です。
□投稿者/ 星は昴 一般人(9回)-(2025/03/31(Mon) 23:12:47)
    [問題]
    　1 から n までの番号が一つずつ書かれた n 枚のカードが入った箱がある。ただし、n は 2 以上の自然数とする。
    　箱から同時に 2 枚取り出すとき、書かれた番号の和が n 以下となる確率を求めよ。

    　同時に2枚取り出すパターンはトータルで nC2 = n(n-1)/2 通り。

    　取り出した2枚のカードの数を a、b で表す。必ず a≠b となるから、a < b とする。すると
    　　a + b ≦ n
    を満たす場合の数を求めればいいことになると思います。
    　　a = 1⇒2≦b≦n-1 ∴n-1-1 = n-2 通り。
    　　a = 2⇒3≦b≦n-2 ∴n-2-2 = n-4 通り。
    　　a = 3⇒4≦b≦n-3 ∴n-3-3 = n-6 通り。
    　　……
    　この調子でいけば
    　　(n-2) + (n-4) + …
    でよさそうな気がするのですが、最後の詰めができません。a = n-2 のときがおかしくなります。
    　a = n-2 ならば b のとりうる値は n-1 と n の2通りしかないはずです。ところが上の式から推定して計算すると

    　　a = n-2⇒n-1≦b≦n-(n-2) = 2 ∴2-(n-2) = 4-n 通り。

    と変な結果になります。考え方に根本的な間違いがあるのでしょうか。n が奇数か偶数かでも違いがありそうですが、どうしたらいいかさっぱりわかりません。
    　確率が大の苦手で、解法パターンを覚える勉強法ではなかなか対処できません。文章とちょっとひねられるとおしまいです。
    　なるべく詳細な解説を頂けたら幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52799 / ResNo.1) 　Re[1]: 高校数学 確率の問題です。
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2025/04/01(Tue) 03:11:41)
    > a = n-2 ならば b のとりうる値は n-1 と n の2通りしかないはずです。
    これが正しくありません。
    a＜b かつ a+b≦nでなければならないのですから、
    a＜n/2である必要があります。
    （a=n/2とするとb＞n/2なのでa+bがnを超えてしまいます。）
    つまり
    a=m→n-2m通り
    がわかりましたので、
    nが偶数なら m=1～n/2-1 について合計する
    nが奇数なら m=1～(n-1)/2 について合計する
    とすればn以下となるのが何通りかが計算できます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52800 / ResNo.2) 　Re[2]: 高校数学 確率の問題です。
□投稿者/ 星は昴 一般人(10回)-(2025/04/01(Tue) 07:52:34)
    　丁寧な回答まことにありがとうございました。助かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]


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■52793 / 親記事) 　(x^x)^x = x^(x^2)
□投稿者/ 星は昴 一般人(5回)-(2025/03/30(Sun) 08:12:47)
    　　(x^x)^x = x^(x^2)

    　この変形はどうしたらできますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■52794 / ResNo.1) 　Re[1]: (x^x)^x = x^(x^2)
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2025/03/30(Sun) 08:36:44)
    例えば
    (2^3)^4
    =(2^3)×(2^3)×(2^3)×(2^3)
    =(2×2×2)×(2×2×2)×(2×2×2)×(2×2×2)
    =2^(3×4)
    という計算からわかるように、一般にa＞0のとき
    (a^b)^c=a^(b×c)
    が成り立ちます。
    よって
    (x^x)^x=x^(x×x)=x^(x^2)
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52795 / ResNo.2) 　Re[2]: (x^x)^x = x^(x^2)
□投稿者/ 星は昴 一般人(7回)-(2025/03/30(Sun) 11:07:55)
    　すばやい回答まことにありがとうございました。

    　ついでにお聞きしたいのですが、画像の式をテキストで表示すると

    　　x^x^x ……(1)

    となってしまい、これでは

    　　(x^x)^x ……(2)

    なのか

    　　x^(x^x) ……(3)

    なのか、区別がつきません。画像の式は(2)と(3) のどちらなのでしょうか？

668×200 => 250×74

1743300475.png/131KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52796 / ResNo.3) 　Re[3]: (x^x)^x = x^(x^2)
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2025/03/30(Sun) 12:00:28)
    画像の式はx^(x^x)です。
    もし(x^x)^xなら、2番目のxと3番目のxが同じ大きさになるはずです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52797 / ResNo.4) 　Re[3]: (x^x)^x = x^(x^2)
□投稿者/ 星は昴 一般人(8回)-(2025/03/30(Sun) 12:06:27)
    丁寧な回答まことにありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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