数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 70]

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sin(x)sin(x+1)<c(2) |

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■記事リスト / ▼下のスレッド

■50878 / 親記事)

　cosθ

□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤一般人(1回)-(2021/07/01(Thu) 21:04:48)

cosθ, cos2θ, cos3θ, cos4θ, ....... , coskθ, .......
という数列のどこか連続する4項が有理数ならば、
この数列は全ての項が有理数だと言えますか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50879 / ResNo.1)

　Re[1]: cosθ

□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2021/07/02(Fri) 21:45:06)

# θとタイプするのが面倒なので、t とタイプさせて頂きます。

cos(t) が有理数であることが示せれば十分です。
何故なら、任意の自然数 k に対して、cos(kt) は cos(t) の整数係数の整式になるからです。

k を自然数、p, q, r, s を有理数として、
p = cos(kt) ・・・・・(1)
q = cos((k+1)t) ・・・・・(2)
r = cos((k+2)t) ・・・・・(3)
s = cos((k+3)t) ・・・・・(4)
とします。

(1)(2)より、
q = cos(kt)cos(t)-sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-sin(kt)sin(t)
⇒ sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-q ・・・・・(5)

(1)(3)(5)より、
r = cos(kt)cos(2t)-sin(kt)sin(2t)
= p(2cos(t)^2-1)-2sin(kt)sin(t)cos(t)
= p(2cos(t)^2-1)-2(p*cos(t)-q)cos(t)
= 2q*cos(t)-p ・・・・・(6)

q ≠ 0 ならば、(6)より
cos(t) = (p+r)/(2q) ・・・・・(7)

q = 0 ならば、(6)より
r = -p ・・・・・(8)

(2)より、
q = cos((k+1)t) = 0
⇒ sin((k+1)t) = ±1 ・・・・・(9)

(3)(8)(9)より、
r = cos((k+1)t)cos(t)-sin((k+1)t)sin(t) = -sin((k+1)t)sin(t)
⇒ (-p)^2 = (-sin((k+1)t)sin(t))^2 = sin(t)^2
⇒ p^2 = 1-cos(t)^2
⇒ cos(t)^2 = 1-p^2 ・・・・・(10)

(4)(5)より、
s = cos(kt)cos(3t)-sin(kt)sin(3t)
= p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)(3sin(t)-4sin(t)^3)
= p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)sin(t)(3-4sin(t)^2)
= p(4cos(t)^3-3cos(t))-p*cos(t)(4cos(t)^2-1)
= -2p*cos(t) ・・・・・(11)

p ≠ 0 ならば、(11)より
cos(t) = -s/(2p) ・・・・・(12)

p = 0 ならば、(10)より
cos(t) = ±1 ・・・・・(13)

以上から、
q ≠ 0 なら cos(t) = (p+r)/(2q)
q = 0 かつ p ≠ 0 なら cos(t) = -s/(2p)
q = 0 かつ p = 0 なら cos(t) = ±1
・・・と、いずれも cos(t) は有理数になります。
よって、連続4項が有理数なら全項が有理数と言えます。

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■50882 / ResNo.2)

　Re[2]: cosθ

□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤一般人(2回)-(2021/07/04(Sun) 14:58:13)

大変美しい解答を有難うございました。

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■50871 / 親記事)

　行列線形代数

□投稿者/ ああや一般人(1回)-(2021/06/27(Sun) 15:50:01)

すみません教えて下さると嬉しいです。
次元のことなど本当に分からないので、基礎から解説してくださると嬉しいです

922×448 => 250×121

39B1962F-0902-4152-9513-4D4FAEA26367.jpeg/60KB

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■50867 / 親記事)

　大学数学

□投稿者/ やよい一般人(1回)-(2021/06/27(Sun) 13:15:24)

次の立体Aの体積を求めよ。

A＝{(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≧z^2,x^2+y^2≦2x,z≧0}

全く手も足も出ないので、詳しく教えて下さると嬉しいです(´；ω；｀)
よろしくお願いします

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■50869 / ResNo.1)

　Re[1]: 大学数学

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2021/06/27(Sun) 15:16:42)

2021/06/27(Sun) 15:39:11 編集(投稿者)

Aを円柱座標に置き換えると
A={(r,θ,z)|0≦z≦r≦√2}
よって立体Aの形状は、
底面が半径√2の円、高さ√2の円柱から
底面が半径√2の円、高さ√2の円錐を
底面を一致させるようにくり抜いたもの
なので、求める体積をVとすると
V=π{(√2)^2}・√2-(1/3)π{(√2)^2}・√2
=(4π/3)√2

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■50863 / 親記事)

　連立方程式

□投稿者/ まるは一般人(1回)-(2021/06/26(Sat) 11:13:16)

の、解法と答えを教えて下さい

a^2+b^2=c^2
b^2-{c-(b-a)}=ba
a^2+{c+(b-a)}=ac

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50866 / ResNo.1)

　Re[1]: 連立方程式

□投稿者/ らすかる付き人(61回)-(2021/06/26(Sat) 19:13:05)

第3式から (a-1)c=a^2-a+b
第2式から c=b^2-ab-a+b … (1)
なので (a-1)c=(a-1)(b^2-ab-a+b)
よって a^2-a+b=(a-1)(b^2-ab-a+b)
整理して (b+2)a^2-(b^2+2b+2)a+b(b+2)=0 … (2)
第1式に(1)を代入して a^2+b^2=(b^2-ab-a+b)^2
整理して b{(b+2)a^2-2(b^2+2b+1)a+b^2(b+2)}=0 … (3)
b=0のとき(3)は成り立ち、(2)からa(a-1)=0
a=0のとき(1)からc=0
(a,b,c)=(0,0,0)は全式を満たすので解
a=1のとき(1)からc=-1
(a,b,c)=(1,0,-1)も全式を満たすので解
b≠0のとき(3)から (b+2)a^2-2(b^2+2b+1)a+b^2(b+2)=0 … (4)
(2)から(b+2)a^2=(b^2+2b+2)a-b(b+2)
(4)から(b+2)a^2=2(b^2+2b+1)a-b^2(b+2)
2式から (b^2+2b+2)a-b(b+2)=2(b^2+2b+1)a-b^2(b+2)
整理して (b+2)(a-b+1)=0 … (5)
b=-2のとき(5)は成り立ち、(2)からa=0、(1)からc=2
(a,b,c)=(0,-2,2)も全式を満たすので解
b≠-2のとき(5)から a-b+1=0 すなわち a=b-1
(2)に代入して
(b+2)(b-1)^2-(b^2+2b+2)(b-1)+b(b+2)=0
これより b=4 なので a=b-1=3、(1)からc=5
(a,b,c)=(3,4,5)も全式を満たすので解
従って解は
(a,b,c)=(0,0,0),(1,0,-1),(0,-2,2),(3,4,5)
の4組。

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■50868 / ResNo.2)

　Re[2]: 連立方程式

□投稿者/ まるは一般人(2回)-(2021/06/27(Sun) 15:10:57)

ありがとうございました！！

解決済み!

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■50862 / 親記事)

　微分

□投稿者/ niceguy 一般人(1回)-(2021/06/23(Wed) 05:09:11)