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■52132 / 親記事) 　期待値
□投稿者/ 双六 一般人(1回)-(2023/03/25(Sat) 17:12:23)
    nを自然数とする
    サイコロをふり続けて出た目を足していく
    出た目の和がはじめてn以上になるまでに
    サイコロをふった回数の期待値をE(n)とする
    lim[n→∞]E(n)-2n/7
    は何になりますか？
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■52131 / 親記事) 　連立方程式
□投稿者/ うさぎはどこへ消えた？ 一般人(1回)-(2023/03/16(Thu) 14:08:44)
    {(x+y+z+1+e^(2πi/5))/5}^2=(x^2+y^2+z^2+1+e^(4πi/5))/5
    {(x+y+z+1+e^(2πi/5))/5}^3=(x^3+y^3+z^3+1+e^(6πi/5))/5
    {(x+y+z+1+e^(2πi/5))/5}^4=(x^4+y^4+z^4+1+e^(8πi/5))/5
    1<|x|≦|y|≦|z|

    この連立方程式の解き方、答えを教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]


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■52127 / 親記事) 　整数ですか？
□投稿者/ 整数 一般人(1回)-(2023/03/07(Tue) 16:03:40)
    は整数で、ではないとします。

    は整数ですか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52128 / ResNo.1) 　Re[1]: 整数ですか？
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2023/03/07(Tue) 19:31:04)
    (a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7 = 7(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
    (a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4 = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
    なので
    {(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7}/{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4} = (7/2)(a-b)(b-c)(c-a)
    であり、a-b,b-c,c-aのうち少なくとも一つは偶数なので、与式は整数になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52129 / ResNo.2) 　Re[2]: 整数ですか？
□投稿者/ 整数 一般人(2回)-(2023/03/08(Wed) 09:40:53)
    ありがとうございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52123 / 親記事) 　複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(3回)-(2023/03/06(Mon) 10:10:33)
    複素数x,y,zが
    x+y+z=x^7+y^7+z^7=0かつxyz≠0
    を満たしているとき
    x^2+y^2+z^2
    の値を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52124 / ResNo.1) 　Re[1]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2023/03/06(Mon) 12:39:42)
    x+y+z=0からx/z+y/z+1=0, x^7+y^7+z^7=0から(x/z)^7+(y/z)^7+1=0
    x/z=a, y/z=bとおけばa+b=-1,a^7+b^7=-1
    ab=kとおく。条件からk≠0。
    a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2k
    a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)=-(1-2k)+k=3k-1
    a^4+b^4=(a+b)(a^3+b^3)-ab(a^2+b^2)=-(3k-1)-k(1-2k)=2k^2-4k+1
    a^7+b^7=(a^3+b^3)(a^4+b^4)-(ab)^3(a+b)=(3k-1)(2k^2-4k+1)+k^3=7k^3-14k^2+7k-1
    7k^3-14k^2+7k-1=-1
    7k^3-14k^2+7k=0
    k^2-2k+1=0
    (k-1)^2=0
    k=1
    ∴a^2+b^2=1-2k=-1
    a^2+b^2+1=0
    (x/z)^2+(y/z)^2+1=0
    ∴x^2+y^2+z^2=0

    ちなみにω=(-1+i√3)/2（1の虚数三乗根）として
    (x,y,z)=(t,tω,tω^2)（tは0でない定数）とおけば問題の条件を満たし、
    x^n+y^n+z^nは
    nが3の倍数のとき 3t^n
    そうでないとき 0
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52125 / ResNo.2) 　Re[2]: 複素数
□投稿者/ squall 一般人(2回)-(2023/03/06(Mon) 20:25:19)
    らすかるさんは、人間コンピュータみたいですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52126 / ResNo.3) 　Re[2]: 複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(4回)-(2023/03/06(Mon) 23:07:05)
    有難うございました。
    とても分かり易かったです。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52120 / 親記事) 　複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(1回)-(2023/03/05(Sun) 21:16:09)
    複素数x,y,zが
    x+y+z=0かつx^4+y^4+z^4=0
    を満たしているとき
    x^2+y^2+z^2
    の値を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52121 / ResNo.1) 　Re[1]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2023/03/05(Sun) 22:32:41)
    x=y=z=0は条件を満たし、このときのx^2+y^2+z^2の値は0
    x=y=z=0でないとき、z≠0とすれば
    x/z+y/z+1=0かつ(x/z)^4+(y/z)^4+1=0
    x/z=a, y/z=bとおくと
    a+b=-1, a^4+b^4=-1
    a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab
    a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(1-2ab)^2-2a^2b^2=1-4ab+2a^2b^2=-1
    2(ab)^2-4ab+1=-1
    2(ab)^2-4ab+2=0
    (ab)^2-2ab+1=0
    (ab-1)^2=0
    ab=1
    よって
    a^2+b^2=1-2ab=-1
    a^2+b^2+1=0
    両辺にz^2≠0を掛けて
    x^2+y^2+z^2=0
    従ってx=y=z=0かどうかにかかわらずx^2+y^2+z^2=0

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■52122 / ResNo.2) 　Re[2]: 複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(2回)-(2023/03/05(Sun) 23:09:48)
    有難うございます。
    大変分かり易かったです。
解決済み!
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