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□投稿者/ 平面 一般人(1回)-(2024/01/01(Mon) 10:16:25)
 | 教えて下さい。
複素数 z, w は
z^2 + w^2 = 1,
|z| = 1
を満たして動くとする。
w の実部, 虚部のとりうる値の最大値をそれぞれ求めよ。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
| ■52437 / ResNo.1) |
Re[1]: 複素数
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□投稿者/ WIZ 一般人(17回)-(2024/01/05(Fri) 00:10:58)
| 2024/01/05(Fri) 10:36:42 編集(投稿者)
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
iは虚数単位、a, b, u, vは実数とします。
z = a+bi, w = u+viとします。
|z| = 1
⇒ a^2+b^2 = 1・・・(1)
z^2+w^2 = (a^2-b^2+2abi)+(u^2-v^2+2uvi) = 1
上記より
a^2-b^2+u^2-v^2 = 1・・・(2)
2ab+2uv = 0・・・(3)
(1)(2)より、
(1-b^2)-b^2+u^2-v^2 = 1
⇒ u^2-v^2 = 2b^2・・・(4)
(1)(3)より、
uv = -ab
⇒ (u^2)(v^2) = (1-b^2)(b^2)・・・(5)
(4)(5)より、
(u^2)(u^2-2b^2) = b^2-b^4
⇒ u^4-2(b^2)u^2+(b^4-b^2) = 0
⇒ u^2 = b^2±√{b^4-(b^4-b^2)} = b^2±|b|
-1 ≦ b < 0の場合、|b| = -bですから、
u^2 = b^2+(-b) = b^2-b・・・(6A)
または、
u^2 = b^2-(-b) = b^2+b・・・(7A)
です。
0 ≦ b ≦ 1の場合、|b| = bですから、
u^2 = b^2+b・・・(7B)
または、
u^2 = b^2-b・・・(6B)
です。
(6A)(6B)から、-1 ≦ b ≦ 1で
u^2 = b^2-b・・・(6)
(7A)(7B)から、-1 ≦ b ≦ 1で
u^2 = b^2+b・・・(7)
すなわち、(6)または(7)が成立すれば良いことになります。
(6)の場合、(4)より、
v^2 = u^2-2b^2 = -b-b^2
となります。
(6.1) -1 ≦ b ≦ 0ならば、
u^2 = b^2-b ≧ 0かつ、b^2 ≦ -bなのでv^2 = -b-b^2 ≧ 0となります。
u^2の最大値はb = -1でu^2 = 2、つまりuの最大値はu = √2です。
v^2の最大値はb = -1/2でv^2 = 1/4、つまりvの最大値はv = 1/2となります。
# (d/db)u^2 = 2b-1 < 0, b = -1でu^2は最大
# (d/db)v^2 = -1-2b, b = -1/2でv^2は極大
(6.2) 0 < b ≦ 1ならば、
v^2 = -b-b^2 < 0で不適格です。
(7)の場合、(4)より、
v^2 = u^2-2b^2 = b-b^2
となります。
(7.1) -1 ≦ b < 0ならば、
v^2 = b-b^2 < 0となり不条理です。
(7.2) 0 ≦ b ≦ 1ならば、
u^2 = b^2+b ≧ 0かつ、b^2 ≦ bなのでv^2 = b-b^2 ≧ 0となります。
u^2の最大値はb = 1でu^2 = 2、つまりuの最大値はu = √2です。
v^2の最大値はb = 1/2でv^2 = 1/4、つまりvの最大値はv = 1/2となります。
# (d/db)u^2 = 2b+1 > 0, b = 1でu^2は最大
# (d/db)v^2 = 1-2b, b = 1/2でv^2は極大
以上から、Re(w)の最大値はu = √2, Im(w)の最大値はv = 1/2となります。
# 勿論、Re(w)とIm(w)が同時に最大値となる訳ではありません。
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| ■52854 / ResNo.2) |
Re[2]: 複素数
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□投稿者/ X 一般人(1回)-(2025/05/05(Mon) 23:24:32)
| 2025/05/05(Mon) 23:28:12 編集(投稿者)
横から失礼します。
別解)
z^2+w^2=1
より
w^2=1-z^2
ここで
|z|=1
より
|z^2|=1
∴複素平面上におけるw^2の軌跡は
1に対応する点を中心とする半径1の円
となるので
w^2=(2cosθ)e^(iθ)
(-π/2≦θ≦π/2 (A))
∴w=(√(2cosθ))e^(iθ/2),-(√(2cosθ))e^(iθ/2)
問題はwの実部、虚部の最大値を求めることにあるので
(A)により
w=(√(2cosθ))e^(iθ/2)
について考えると
Re[w]=cos(θ/2)√(2cosθ)
Im[w]=sin(θ/2)√(2cosθ)
(i)Re[w]について
cos(θ/2),cosθ共に偶関数であり、かつ
θ=0で最大となるので
Re[w]はθ=0のとき、最大値√2を取ります。
(ii)Im[w]について
Im[w]=sin(θ/2)√{2-4(sin(θ/2))^2}
=√{{2-4(sin(θ/2))^2}(sin(θ/2))^2}
=√{-4{(sin(θ/2))^2-1/4}^2+1/4}
∴Im[w]はθ=π/3のときに最大値1/2を取ります。
(注：アップした後に、スレが5か月以上前のものだと気付きましたが
アップしたままにしておきます。)
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1の原始2n+1乗根(0)
