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確率(3) |

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(x^x)^x = x^(x^2)(4) |

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klog(1+1/k) < 1を証明する(2) |

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常微分方程式の基本的な質問(2) |

単位円と正三角形(2) |

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フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

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確率(2) |

体(3) |

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複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

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極限(3) |

メビウス変換(0) |

複素数写像 (0) |

■記事リスト / ▼下のスレッド

■52844 / 親記事)

　式の値を求める

□投稿者/ 健作一般人(1回)-(2025/05/02(Fri) 20:19:36)

$2$\Large a,b,c$ は $2$\Large abc \neq 0$ をみたす実数で

$2$\huge x= \frac{\,a\,}b - \frac{\,b\,}a$

$2$\huge y= \frac{\,b\,}c - \frac{\,c\,}b$

$2$\huge z= \frac{\,c\,}a - \frac{\,a\,}c$

も $2$\Large xyz \neq 0$ をみたしているとき

$2$\huge \frac{\, x^4+y^4+z^4-x^2y^2z^2\,}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$

の値とその求め方を教えてください

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■52845 / ResNo.1)

　Re[1]: 式の値を求める

□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2025/05/03(Sat) 14:58:58)

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

cx = ca/b-bc/a
ay = ab/c-ca/b
bz = bc/a-ab/c
⇒ cx+ay+bz = 0・・・・・(1)

(1/c)x = a/(bc)-b/(ca)
(1/a)y = b/(ca)-a/(ab)
(1/b)z = c/(ab)-a/(bc)
⇒ (1/c)x+(1/a)y+(1/b)z = 0・・・・・(2)

p = a/b+b/a, q = b/c+c/b, r = c/a+a/cとおくと、
p+x = 2a/b, q+y = 2b/c, r+z = 2c/a
⇒ (p+x)(q+y)(r+z) = (2a/b)(2b/c)(2c/a)
⇒ pqr+pyz+qzx+rxy+pqz+qrx+rpy+xyz = 8・・・・・(3)

pqr = (a/b+b/a)(b/c+c/b)(c/a+a/c)
= (a/b)(b/c)(c/a)+(a/b)(b/c)(a/c)+(a/b)(c/b)(c/a)+(a/b)(c/b)(a/c)
+(b/a)(b/c)(c/a)+(b/a)(b/c)(a/c)+(b/a)(c/b)(c/a)+(b/a)(c/b)(a/c)
= 1+(a/c)^2+(c/b)^2+(a/b)^2+(b/a)^2+(b/c)^2+(c/a)^2+1
= (a/b-b/a)^2+(b/c-c/b)^2+(c/a-a/c)^2+8
= x^2+y^2+z^2+8・・・・・(4)

(1)(2)より、
0 = (cx+ay+bz)(x/c+y/a+z/b)
= x^2+y^2+z^2+(c/a+a/c)xy+(a/b+b/a)yz+(b/c+c/b)zx
= x^2+y^2+z^2+rxy+pyz+qzx・・・・・(5)

(3)(4)(5)より、
(x^2+y^2+z^2+8)-(x^2+y^2+z^2)+pqz+qrx+rpy+xyz = 8
⇒ pqz+qrx+rpy = -xyz・・・・・(6)

(5)(6)より、
(x^2+y^2+z^2)^2 = (rxy+pyz+qzx)^2
⇒ x^4+y^4+z^4+2{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2} = (rxy)^2+(pyz)^2+(qzx)^2+2xyz(rpy+pqz+qrx)
⇒ x^4+y^4+z^4 = (r^2-2)(xy)^2+(p^2-2)(yz)^2+(q^2-2)(zx)^2+2xyz(-xyz)

ここで、
p^2-2 = (a/b+b/a)^2-2 = (a/b)^2+(b/a)^2 = (a/b-b/a)^2+2 = x^2+2
同様に、q^2-2 = y^2+2, r^2-2 = z^2+2ですので、
⇒ x^4+y^4+z^4 = (z^2+2)(xy)^2+(x^2+2)(yz)^2+(y^2+2)(zx)^2-2(xyz)^2
⇒ x^4+y^4+z^4-(xyz)^2 = 2{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2}
⇒ {x^4+y^4+z^4-(xyz)^2}/{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2} = 2

# もっと上手い計算方法があるのかもしれません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52846 / ResNo.2)

　Re[2]: 式の値を求める

□投稿者/ 健作一般人(2回)-(2025/05/03(Sat) 22:36:20)

ありがとうございます

すごい…

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52848 / ResNo.3)

　Re[1]: 式の値を求める

□投稿者/ らすかる一般人(21回)-(2025/05/03(Sat) 23:46:51)

条件から
x=a/b-b/a=(a^2-b^2)/(ab)
y=b/c-c/b=(b^2-c^2)/(bc)
z=c/a-a/c=(c^2-a^2)/(ca)

x^2+y^2-z^2
=(a^2-b^2)^2/(ab)^2+(b^2-c^2)^2/(bc)^2-(c^2-a^2)/(ca)^2
={(a^2-b^2)^2*c^2+(b^2-c^2)^2*a^2-(c^2-a^2)^2*b^2}/(abc)^2
={(a^2-b^2)^2*c^2+(b^4-2b^2c^2+c^4)*a^2-(c^4-2c^2a^2+a^4)*b^2}/(abc)^2
={(a^2-b^2)^2*c^2+(b^4+c^4)*a^2-(c^4+a^4)*b^2}/(abc)^2
={(a^2-b^2)^2*c^2+(a^2-b^2)c^4+(a^2b^4-a^4b^2)}/(abc)^2
={(a^2-b^2)^2*c^2+(a^2-b^2)c^4+(b^2-a^2)a^2b^2}/(abc)^2
=-{(a^2-b^2)((b^2-a^2)c^2-c^4+a^2b^2}/(abc)^2
=-{(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2+a^2)}/(abc)^2
=-(a^2-b^2)/(ab)・(b^2-c^2)/(bc)・(c^2+a^2)/(ca)
=-xy・(c^2+a^2)/(ca)

(x^2+y^2-z^2)^2=x^2y^2・(c^2+a^2)^2/(ca)^2
=x^2y^2・(c^4+2c^2a^2+a^4)/(ca)^2
=x^2y^2・(c^4-2c^2a^2+a^4+4c^2a^2)/(ca)^2
=x^2y^2・{(c^2-a^2)^2/(ca)^2+4}
=x^2y^2(z^2+4)

x^4+y^4+z^4+2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^2y^2z^2+4x^2y^2
x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^2y^2z^2
x^4+y^4+z^4-x^2y^2z^2=2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)
∴(x^4+y^4+z^4-x^2y^2z^2)/(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)=2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52849 / ResNo.4)

　Re[2]: 式の値を求める

□投稿者/ 健作一般人(4回)-(2025/05/04(Sun) 12:04:26)

ありがとうございます

なるほど…

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52663 / 親記事)

　漸化式と不等式

□投稿者/ 数列一般人(3回)-(2025/01/09(Thu) 17:16:37)

a[0]=1,a[1]=1/2,
(n+1)a[n+1]=(n+ 1/2)a[n] -na[n-1]
のとき,
a[n]^2>a[n+1]a[n-1]
の証明を教えて下さい.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52700 / ResNo.1)

　Re[1]: 漸化式と不等式

□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2025/03/02(Sun) 21:45:52)

2025/03/02(Sun) 21:50:38 編集(投稿者)

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとする。
また、nは自然数で、以下の漸化式と解釈して回答します。
(n+1)a[n+1] = (n+(1/2))a[n]-n*a[n-1]

⇒ a[n] = {(n+1)a[n+1]+n*a[n-1]}/(n+1/2)
⇒ a[n]^2 = {((n+1)^2)a[n+1]^2+2(n+1)n*a[n+1]a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2}/{(n+1/2)^2}
⇒ a[n]^2-a[n+1]a[n-1] = {((n+1)^2)a[n+1]^2+((2n^2+2n)-(n^2+n+1/4))a[n+1]a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2}/{(n+1/2)^2}

ここで、上記の右辺分母は正ですから、左辺と右辺分子の符号は同じです。

{上記右辺分子} = ((n+1)^2)a[n+1]^2+(n^2+n-1/4)a[n+1]a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2
= ((n+1)^2)a[n+1]^2+2(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]*n*a[n-1]+(n^2)a[n-1]^2
= ((n+1)^2-(n/2+1/2-1/(8n))^2)a[n+1]^2+{(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]+n*a[n-1]}^2
= (n/2+1/2+1/(8n))(3n/2+3/2-1/(8n))a[n+1]^2+{(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]+n*a[n-1]}^2
≧ 0

上記で等号が成立するのは、(n/2+1/2+1/(8n))(3n/2+3/2-1/(8n)) > 0であることから、
a[n+1]^2 = 0 かつ {(n/2+1/2-1/(8n))a[n+1]+n*a[n-1]}^2 = 0 のときであり、
整理すると a[n+1] = 0 かつ a[n-1] = 0 の場合です。
また、この場合、漸化式から a[n] = 0 です。
更に a[n] = 0 かつ a[n+1] = 0 ならば、漸化式より a[n+2] 以降の全ての項が0となります。

以下、連続する2項が0にはなり得ないことを示します。
a[0] ≠ 0 かつ a[1] ≠ 0 なので、mを2以上の自然数として a[m-1] ≠ 0 かつ a[m] = 0 であると仮定します。
漸化式から、(m+1)a[m+1] = m*a[m-1] つまり a[m+1] ≠ 0 となります。
同様に漸化式から、(m+2)a[m+2] = (m+1+1/2)a[m+1] つまり a[m+2] ≠ 0 となります。

a[m+3] = 0 か a[m+3] ≠ 0 かは漸化式からは決定できませんが、
a[m+3] 以降で最初に 0 となる項を a[p] とすれば、a[p-1] ≠ 0 ですので、
上記の「a[m-1] ≠ 0 かつ a[m] = 0 である～」の論法を繰り返すことにより、
a[p+1] ≠ 0 かつ a[p+2] ≠ 0 と言えますので、連続した2項が0になることはないと言えます。

以上から、不等式で等号は成立せず a[n]^2-a[n+1]a[n-1] > 0 となります。

# 計算間違いと、後半の論理には自信がありませんので識者の方のツッコミをお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52842 / ResNo.2)

　Re[2]: 漸化式と不等式

□投稿者/ 数列一般人(1回)-(2025/05/01(Thu) 11:00:05)

ありがとうございます。

もしよろしければ
Σ[k=0→n]a[k]≧0
の証明も教えていただけないでしょうか。

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■52802 / 親記事)

　最大公約数

□投稿者/ すき家のねずみ一般人(1回)-(2025/04/04(Fri) 18:08:03)

mを2以上の自然数とするとき
2^m-2, 3^m-3, 4^m-4, 5^m-5, 6^m-6, 7^m-7, …
の最大公約数ってどう求めるのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■52805 / ResNo.1)

　Re[1]: 最大公約数

□投稿者/ らすかる一般人(13回)-(2025/04/05(Sat) 14:06:56)

求め方はわかりませんが、
2^m-2,3^m-3,4^m-4,…の最大公約数は
「m-1がp-1で割り切れる」を満たす素数pの積
となるようです。
具体的には、m=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,…に対して
最大公約数は2,6,2,30,2,42,2,30,2,66,2,2730,2,…のようになります。
↓参考
oeis.org/A027760

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■52822 / ResNo.2)

　Re[2]: 最大公約数

□投稿者/ すき家のねずみ一般人(2回)-(2025/04/19(Sat) 09:45:03)

とても参考になりましたありがとうございます。
偶数の場合ですら難しいですね。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52826 / ResNo.3)

　Re[1]: 最大公約数

□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2025/04/25(Fri) 14:00:43)

# 解決済みになってるけど、解けた気がするので投稿しちゃいます!

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

{2^m-2, 3^m-3, 4^m-4, 5^m-5, 6^m-6, 7^m-7, …}の最大公約数をg(m)とします。
nを2以上の自然数とすれば、n^m-nは偶数なので、mの値に関わらずg(m)は2を因数に持ちます。

(1)mが偶数の場合
q = g(m)/2とおくと、qは自然数です。
g(m) = 2qは2^m-2 = 2(2^(m-1)-1)の約数なので、qは2^(m-1)-1の約数となります。
2^(m-1)-1は奇数なので、qも奇数となります。

qが素因数を持つと仮定し、その素因数のひとつをpとします。pは奇素数となります。
2からp-1までの自然数の中には法pの原始根が存在するので、原始根のひとつをaとします。
pはa^m-a = a(a^(m-1)-1)の約数となりますが、2 ≦ a ≦ p-1なので、pはa^(m-1)-1の約数となります。

a^(m-1)-1 ≡ 0 (mod p) つまり、a^(m-1) ≡ 1 (mod p)ならば、
フェルマーの小定理とaが法pの原始根であることから、m-1はp-1の倍数でなければなりません。

m-1は奇数で、p-1は偶数なので、m-1はp-1の倍数にはなり得ません。
よって、奇数qの素因数pが存在しないので、q = 1であり、g(m) = 2といえます。

(2)mが奇数の場合
g(m)が素因数pを持つと仮定します。(p = 2も含みます。)
つまり、nを2以上の自然数とするとき、n^m-n = n(n^(m-1)-1)はpを約数に持つと仮定します。

nとn^(m-1)-1は互いに素ですから、仮定の成立には以下の2通りの場合があります。
(2A) n ≡ 0 (mod p)
(2B) n^(m-1)-1 ≡ 0 (mod p)

nが法pで0に合同である場合、これは(2A)の成立そのものです。
nが法pで0に合同でない場合、nが法pの原始根である可能性もあることから、
(2B)の成立はフェルマーの小定理より、m-1がp-1の倍数であることが必要となります。

従って、nが法pで0に合同であるかないかに関わらず、m-1がp-1の倍数であれば、
n^m-nはpを約数に持ち、pはg(m)の因数であるといえます。

更に、p^m-p = p(p^(m-1)-1)がp^2で割り切れないため、p^2はg(m)の因数とはなり得ないといえます。
以上から、g(m) = Π{m-1がp-1の倍数である素数p}となります。
上記g(m)をmの式で表せるのかは分かりませんでした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52841 / ResNo.4)

　Re[2]: 最大公約数

□投稿者/ すき家のねずみ一般人(3回)-(2025/04/30(Wed) 16:28:33)

ありがとうございます。
難しいですが、なんとなく雰囲気は分かりました。

解決済み!

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■52837 / 親記事)

　sin(x)sin(x+1)<c

□投稿者/ イーライ一般人(1回)-(2025/04/30(Wed) 00:13:28)

sin(x/2)sin((x+1)/2)は積和の公式を使うなどすると
xによらず上から2sin(1/2)(<1)でおさえられるのが分かるのですが、
sin(x)sin(x+1)<c<1となるようなcって何かないでしょうか？
2sin(1/2)のように手計算で評価できるものが希望です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52839 / ResNo.1)

　Re[1]: sin(x)sin(x+1)<c

□投稿者/ らすかる一般人(19回)-(2025/04/30(Wed) 03:13:18)

sin(x)sin(x+1)=(cos1-cos(2x+1))/2≦(cos1+1)/2≒0.77015
なので、例えばc=7/9とすれば
sin(x)sin(x+1)＜c＜1
が成り立ちますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52840 / ResNo.2)

　Re[2]: sin(x)sin(x+1)<c

□投稿者/ イーライ一般人(2回)-(2025/04/30(Wed) 11:23:22)

なるほど！ありがとう！

解決済み!

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■52818 / 親記事)

　三角形の面積の大小

□投稿者/ 掛け流し一般人(1回)-(2025/04/14(Mon) 23:58:51)

43年前の学習院大学理学部の入試問題です。
「△ABC,△A'B'C'を2つの鋭角三角形とする。このとき,

AB＜A’B', BC＜B'C', CA＜C'A' ならば △ABC＜△A'B'C'

であることを証明せよ。」

の証明の過程として、c＜c',a＜a',b＜b'とするとき,
　　　　
　　　　　　　0＜b^2＋c^2-a^2＜2bc かつ 0＜b'^2＋c'^2-a'^2＜2b'c'

△ABC＝1/4・sqr｛4b^2c^2-(b^2＋c^2-a^2)^2

△A'B'C'=1/4・sqr｛4b'^2c'^2-(b'^2＋c'^2-a'^2)^2｝

とここまで求めたのですが,これから,△ABC＜△A'B'C' であることをどう導いたらいいのか分かりません。ご教授お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■52820 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角形の面積の大小

□投稿者/ らすかる一般人(15回)-(2025/04/15(Tue) 01:31:10)

その式からは導けません。
例えば a=b=c=9, a'=b'=10,c'=19 は
a＜a', b＜b', c＜c',
0＜b^2+c^2-a^2＜2bc かつ 0＜b'^2+c'^2-a'^2＜2b'c'
を満たしますが、△ABC＞△A'B'C'です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52827 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角形の面積の大小

□投稿者/ 掛け流し一般人(2回)-(2025/04/25(Fri) 19:17:11)

らすかる様、ご指摘有り難うございます。
　　　　　　　　　
２つの三角形がとも鋭角三角形であることから、0＜b^2＋c^2-a^2＜2bc, 0＜c^2＋a^2-b^2＜2ca, 0＜c^2＋b^2-c^2＜2ac および,a',b',c'についても上と同様の等式　計6つの等式が成立し、これらと　a＜a',b＜b', c＜c'の条件から,2つの三角形の面積の大小を示したいのですが、出来ず悩んでいます。
何か, アドバイス頂ければ幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52828 / ResNo.3)

　Re[3]: 三角形の面積の大小

□投稿者/ 掛け流し一般人(3回)-(2025/04/25(Fri) 19:19:50)

文中, 不等式の間違いです。お許し下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52836 / ResNo.4)

　Re[1]: 三角形の面積の大小

□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2025/04/28(Mon) 10:04:18)

2025/04/29(Tue) 14:33:24 編集(投稿者)

a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, a' = |B'C'|, b' = |C'A'|, c' = |A'B'|と解釈します。

(1)∠A' ≧ ∠Aまたは∠B' ≧ ∠Bの場合
xy座標で、頂点Aと頂点A'を原点に重ねます。
また、頂点Bと頂点B'をx軸上のx > 0の部分に置きます。

頂点の座標は、A(0, 0), B(c, 0), A'(0, 0), B'(c', 0)となります。
また、頂点Cの座標を(u, v)かつv > 0、頂点C'の座標を(u', v')かつv' > 0とします。
|△ABC| = cv/2, |△A'B'C'| = c'v'/2となります。

∠A' ≧ ∠Aであれば、b' > bと合わせて、v' = b'*sin(A') > b*sin(A) = vとなます。
∠B' ≧ ∠Bであれば、a' > aと合わせて、v' = a'*sin(B') > a*sin(B) = vとなます。
c' > cですから、c'v'/2 > cv/2といえます。

(2)∠A' < ∠Aかつ∠B' < ∠Bの場合
∠C' = π-∠A'-∠B' > π-∠A-∠B = ∠Cとなります。

xy座標で、頂点Cと頂点C'を原点に重ねます。
また、頂点Aと頂点A'をx軸上のx > 0の部分に置きます。

頂点の座標は、C(0, 0), A(b, 0), C'(0, 0), A'(b', 0)となります。
また、頂点Bの座標を(p, q)かつq > 0、頂点B'の座標を(p', q')かつq' > 0とします。
|△ABC| = bq/2, |△A'B'C'| = b'q'/2となります。

a' > aかつ∠C' > ∠Cですので、q' = a'*sin(C') > a*sin(C) = qとなます。
b' > bですから、b'q'/2 > bq/2といえます。

以上から、いずれの場合も|△A'B'C'| > |△ABC|といえます。

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