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順列(2) |

スピアマンの順位相関係数の求め方について(0) |

sin(x)sin(x+1)<c(2) |

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確率(3) |

52545の「約数の個数」の式変形について(5) |

約数の個数(6) |

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高校数学確率の問題です。(2) |

(x^x)^x = x^(x^2)(4) |

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klog(1+1/k) < 1を証明する(2) |

約数(1) |

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lim[θ→0](θ/sinθ)(2) |

常微分方程式の基本的な質問(2) |

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G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

確率(2) |

体(3) |

素数(2) |

■52444 / 親記事)

　解答を教えてください

□投稿者/ 大学生一般人(3回)-(2024/01/13(Sat) 01:50:09)

幾何学の問題です。
解答を教えてください。

1080×499 => 250×115

IMG_20240113_014712.jpg/161KB

引用返信/返信 [メール受信/ON]

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■51958 / 親記事)

　確率の不等式

□投稿者/ 中国一般人(1回)-(2022/09/28(Wed) 21:50:48)

0<p<1, nは正の整数
のとき
(1-p)^n p / (1-(1-p)^(2n+1)) <1/(2n+1)
の証明をご教示下さい.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52440 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率の不等式

□投稿者/ WIZ 一般人(19回)-(2024/01/07(Sun) 14:23:52)

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
((1-p)^n)p/{1-(1-p)^(2n+1)} < 1/(2n+1)の証明と解釈して回答します。

q = 1-pとおくと、0 < q < 1です。

((1-p)^n)p/{1-(1-p)^(2n+1)}
= (q^n)(1-q)/{1-q^(2n+1)}
= (q^n)/{Σ[k=0,2n]{q^k}}
= 1/{Σ[k=-n,n]{q^k}}
= 1/{q^0+Σ[k=1,n]{q^(-k)+q^k}}

0 < q^(-k)かつ、0 < q^kなので、相加平均と相乗平均の大小関係より、
q^(-k)+q^k ≧ 2√{(q^(-k))(q^k)} = 2

但し、0 < q < 1とkは自然数より、q^(-k) ≠ q^kなので上記不等式の等号は成立しません。
よって、q^(-k)+q^k > 2です。

以上から、
q^0+Σ[k=1,n]{q^(-k)+q^k} > 1+Σ[k=1,n]{2} = 2n+1
となり、題意は成立すると言えます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52056 / 親記事)

　無理関数の積分(大学)

□投稿者/ 数学太郎一般人(1回)-(2022/12/21(Wed) 16:52:26)

どなたかこちらの解き方を教えていただきたいです。

[-1,0]∫x^2/√(x^2+x+4) dx

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52438 / ResNo.1)

　Re[1]: 無理関数の積分(大学)

□投稿者/ WIZ 一般人(18回)-(2024/01/06(Sat) 22:50:34)

2024/01/07(Sun) 12:02:47 編集(投稿者)

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
不定積分を計算してから、定積分の値を求めます。

F(x) = ∫{(x^2)/√(x^2+x+4)}dxとおきます。

t-x = √(x^2+x+4)とおくと、
⇒ t^2-2tx+x^2 = x^2+x+4
⇒ t^2-4 = (2t+1)x・・・(1)

2t+1 = 0、つまりt = -1/2と仮定すると、
t^2-2tx+x^2 = 1/4+x+x^2 = x^2+x+4
⇒ 1/4 = 4
と不条理なのでt ≠ -1/2です。

よって、(1)より、
x = (t^2-4)/(2t+1)・・・(2)

(2)より、
√(x^2+x+4) = t-x = t-(t^2-4)/(2t+1) = (t^2+t+4)/(2t+1)・・・(3)

(2)(3)より、
(x^2)/√(x^2+x+4) = (((t^2-4)/(2t+1))^2)/((t^2+t+4)/(2t+1))
= {(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}・・・(4)

(2)より、
dx/dt = {(2t)(2t+1)-(t^2-4)(2)}/{(2t+1)^2} = (2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}・・・(5)

(4)(5)より、
F(x) = ∫{{(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}}{(2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}}dt
= ∫{2{(t^2-4)^2}/{(2t+1)^3}}dt・・・(6)

u = t+1/2、つまりt = u-1/2とおくと、du = dtで、(6)は、
F(x) = ∫{2{((u-1/2)^2-4)^2}/{(2u)^3}}du
= (1/4)∫{{((u^2-u+1/4)-4)^2}/{u^3}}du
= (1/4)∫{{(u^2-u-15/4)^2}/{u^3}}du
= (1/4)∫{{u^4-2u^3-(13/2)u^2+(15/2)u+225/16}/{u^3}}du
= (1/64)∫{16u-32-104/u+120/u^2+225/u^3}du
= (1/64){8u^2-32u-104log(|u|)-120/u-(225/2)/u^2}
= (1/128){16u^2-64u-208log(|u|)-240/u-225/u^2}・・・(7)

計算過程で良く出てくる式を、u = t+1/2 = 1/2+x+√(x^2+x+4) = g(x)とおきます。

-1 ≦ x ≦ 0なので、x+√((x+1/2)^2+15/4) ≧ -1+(√15)/2 > 0より、
log(|u|) = log(1/2+x+√(x^2+x+4)) = log(g(x))・・・(9)

(7)(8)(9)より、
F(x) = (1/128){16g(x)^2-64g(x)-208log(g(x))-240/g(x)-225/g(x)^2}

g(0) = 1/2+0+√4 = 5/2
⇒ F(0) = (1/128){16(5/2)^2-64(5/2)-208log(5/2)-240/(5/2)-225/(5/2)^2}
= (1/128){100-160-208log(5/2)-96-36}
= -(13/8)log(5/2)-3/2

g(-1) = 1/2-1+√((-1)^2+(-1)+4) = 3/2
⇒ F(-1) = (1/128){16(3/2)^2-64(3/2)-208log(3/2)-240/(3/2)-225/(3/2)^2}
= (1/128){36-96-208log(3/2)-160-100}
= -(13/8)log(3/2)-5/2

よって、
F(0)-F(-1) = {-(13/8)log(5/2)-3/2}-{-(13/8)log(3/2)-5/2}
= (13/8)log(3/5)+1

以上から、∫[-1, 0]{(x^2)/√(x^2+x+4)}dx = (13/8)log(3/5)+1となります。
# 計算間違いしている可能性がありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52439 / ResNo.2)

　Re[1]: 無理関数の積分(大学)

□投稿者/ X 一般人(7回)-(2024/01/07(Sun) 10:24:06)

横から失礼します。

別解)
x^2+x+4=(x+1/2)^2+15/4
ここで
(2/√15)(x+1/2)=sinht
と置くと
(与式)=∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)][{{(1/2)(√15)sinht-1/2}^2}/cosht]coshtdt
=(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)](sinht-1/√15)^2dt
=(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2-(2/√15)sinht+1/15}dt
=(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2+1/15}dt
=(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-1/2+1/15}dt
=(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-13/30}dt
=(15/2){(1/4)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/30)arcsinh(1/√15)}
=(15/8)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/4)arcsinh(1/√15)
ここで
sinh{2arcsinh(1/√15)}=2sinhucoshu (u=arcsinh(1/√15)と置いた)
=2(1/√15)√{(1/√15)^2+1}
=8/15
∴(与式)=1-(13/4)arcsinh(1/√15)
(見かけは異なりますが、WIZさんの値と同じです。)

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■52414 / 親記事)

　確率

□投稿者/ Z 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:17:22)

2個のサイコロX,Yをn回投げる。
k回目に出たX,Yの目をx[k],y[k]とする。
x[1]y[1]+x[2]y[2]+…+x[n]y[n]
が3の倍数になる確率を求めよ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52417 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2023/12/28(Thu) 21:22:46)

2023/12/28(Thu) 22:48:19 編集(投稿者)

a[k] = Σ[j=1,k]{x[j]y[j]}とおきます。

k回目でa[k]の値が、3の倍数になる確率をp[k]、
3で割った余りが1になる確率をq[k]、
3で割った余りが2になる確率をr[k]とします。

k = 1のとき、(x[1], y[1])の組み合わせは全部で6*6 = 36通りです。

(1, 1)(1, 4)(2, 2)(2, 5)(4, 1)(4, 4)(5, 2)(5, 5)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 1 (mod 3)なので、q[1] = 8/36 = 2/9です。

(1, 2)(1, 5)(2, 1)(2, 4)(4, 2)(4, 5)(5, 1)(5, 4)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 2 (mod 3)なので、r[1] = 8/36 = 2/9です。

残りの20通りはx[1]またはy[1]が3の倍数なので、p[1] = 20/36 = 5/9です。

k > 1のとき、
a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 0 (mod 3)なので、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(1)
となります。

a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 1 (mod 3)なので、
q[k] = (2/9)p[k-1]+(5/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(2)
となります。

a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 2 (mod 3)なので、
r[k] = (2/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(5/9)r[k-1]・・・(3)
となります。

(2)-(3)より、
q[k]-r[k] = (3/9)q[k-1]-(3/9)r[k-1]
⇒ q[k]-r[k] = ((3/9)^(k-1))(q[1]-r[1]) = 0
⇒ q[k] = r[k]・・・(4)

(4)→(1)より、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(4/9)q[k-1]
⇒ q[k-1] = (9/4)p[k]-(5/4)p[k-1]・・・(5)

(4)(5)→(2)より、
(9/4)p[k+1]-(5/4)p[k] = (2/9)p[k-1]+(7/9)((9/4)p[k]-(5/4)p[k-1])
⇒ (9/4)p[k+1]-(12/4)p[k]-(3/4)p[k-1] = 0
⇒ 3p[k+1]-p[k] = 3p[k]-p[k-1]・・・(6)

(1)より、
p[2] = (5/9)p[1]+(2/9)q[1]+(2/9)r[1] = 11/27・・・(7)

(6)(7)より、
3p[k+1]-p[k] = 3p[2]-p[1] = 2/3
⇒ 3p[k+1]-1 = p[k]-1/3
⇒ p[k]-1/3 = ((1/3)^(k-1))(p[1]-1/3) = 2/(3^(k+1))
⇒ p[k] = 1/3+2/(3^(k+1))

上記はk = 1でも成り立ちます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52436 / ResNo.2)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ Z 一般人(2回)-(2024/01/02(Tue) 15:24:17)

詳しくありがとうございます。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52431 / 親記事)

　囲まれた面積

□投稿者/ あけお一般人(1回)-(2024/01/01(Mon) 10:13:00)

60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
x=4
x=0
で囲まれた部分の面積と4はどちらが大きいのですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52433 / ResNo.1)

　Re[1]: 囲まれた面積

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2024/01/01(Mon) 11:05:39)

4の方が大きいです。
60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
はy=1/2に関して対称であり、y≧1/2の部分の式はyについて解いて
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
よってこれとy=1/2とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が2より小さいことを示せばよい。
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
をx=2に関して対称に移動すると（xを4-xに置き換えて整理）
y={30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
なので
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
+{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が4より小さいことを示せばよい。
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
+{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
を整理すると
y=1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30 … (1)
(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≧0（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
なので
225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≦225（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦15（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦450（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦900（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}≦30（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦1（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦2（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
よって(1)はx=0,1,2,3,4のときy=2、0＜x＜4かつx≠1,2,3のとき1＜y＜2
なので、この曲線とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積は4より小さい。

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■52435 / ResNo.2)

　Re[2]: 囲まれた面積

□投稿者/ あけお一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 17:53:51)

ありがとうございます！！

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