数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■ 過去ログ検索の勧め⇒ここを読んでみてください
★ google検索

　
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。
検索条件:
現在のログを検索過去のログを検索
■ 2006/2/20より、累計：、本日：、昨日：
■ 数式の記述方法
■TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \]　あるいは，$ TeX形式数式 $　で数式を記述します。
　TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
■ 携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは New で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは UpDate で表示されます。
記事リスト ( )内の数字はレス数
UpDate対数の不等式(2) | Nomal極限(2) | Nomal整数から実数への写像について(1) | Nomal方程式と不等式(2) | Nomal平方数ではない(2) | Nomalガウス記号(1) | Nomal期待値(2) | Nomal数列(0) | Nomal3^n-nとn+5の2の指数(2) | Nomalオイラー関数と余り(1) | Nomal極限(1) | Nomal極限(2) | Nomal不等式(2) | Nomal正六角柱(2) | Nomal整数問題(0) | Nomal√(3-√3)(2) | Nomal（削除）(1) | Nomal順列(4) | Nomal期待値(2) | Nomal順列(2) | Nomalフィボナッチ数(2) | Nomal素数(2) | Nomal4年度国立理系入試問題(1) | Nomal2次式(0) | Nomal2次式(2) | Nomal積分(2) | Nomal二次方程式(0) | Nomal面積の２等分線(4) | Nomal多項式(0) | Nomal自然数n(2) | Nomalフェルマーの最終定理の証明(73) | Nomal素数とcos(0) | Nomal平行六角形(5) | Nomal順列(2) | Nomal2次不等式(3) | Nomal平方数(2) | Nomal方程式の解(2) | Nomal1の原始2n+1乗根(0) | Nomal積分不等式(2) | Nomal不等式(2) | Nomal広義積分(2) | Nomal有理数と素数(9) | Nomal微分方程式の級数解(1) | Nomal積分の漸化式(3) | Nomal数列の極限(0) | Nomal不等式(2) | Nomal無平方な多項式(2) | Nomal難しい積分(2) | Nomalスピアマンの順位相関係数の求め方について(0) | Nomal相加相乗で(2) | Nomal微分で関数の最大値を求める(3) | Nomal自然数　階乗(0) | Nomal期待値と極限(0) | Nomal回転体の体積(6) | Nomal円と三角形、有理数と無理数(2) | Nomal定積分(2) | Nomal二次関数の9に等しい桁(1) | Nomalベクトル(4) | Nomal複素数(2) | Nomal式の値を求める(4) | Nomal漸化式と不等式(2) | Nomal最大公約数(4) | Nomalsin(x)sin(x+1)<c(2) | Nomal三角形の面積の大小(4) | Nomal4次多項式(2) | Nomal偶数の約数(2) | Nomal青空学園数学科(0) | Nomal一次変数の微分可能性について(1) | Nomal積分(0) | Nomal有限小数(2) | Nomalイデアル(2) | Nomal確率(3) | Nomal52545の「約数の個数」の式変形について(5) | Nomal約数の個数(6) | Nomal羅生門(1) | Nomal高校数学 確率の問題です。(2) | Nomal(x^x)^x = x^(x^2)(4) | Nomal数字が重複しない積(1) | Nomal自然数(2) | Nomal余り(2) | Nomalklog(1+1/k) < 1を証明する(2) | Nomal積分の極限(3) | Nomal平方数と素数(2) | Nomal約数(1) | Nomal整数問題(4) | Nomal期待値(2) | Nomal定積分(4) | Nomaln乗根(1) | Nomallim[θ→0](θ/sinθ)(2) | Nomal常微分方程式の基本的な質問(2) | Nomal単位円と正三角形(2) | Nomal証明 微積(0) | Nomal台形(1) | Nomal設問ミスですか？それとも解けますか？(1) | Nomal二次関数(1) | Nomalコラッツ予想(0) | Nomalζ関数(1) | Nomal（削除）(0) | Nomal高校数学 期待値の問題です(2) | Nomal二項係数(1) |


■記事リスト / ▼下のスレッド
■52978 / 親記事) 　極限
□投稿者/ 長所 一般人(1回)-(2025/11/21(Fri) 18:33:14)
    lim[x→0](xe^x-e^x+1)/(xe^x-x)
    は高校数学でどう求めるのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■53022 / ResNo.1) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2026/01/20(Tue) 16:17:00)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    lim[x→0]{(x(e^x)-(e^x)+1)/(x(e^x)-x)} の計算と解釈して回答します。

    0/0型の不定形なので、ロピタルの定理を使っても良いのなら求められます。
    # 高校数学でも証明抜きでロピタルの定理の使用は認められていますよね?
    分母と分子を微分すると0/0不定形は解消されませんが、
    もう1回ずつ微分すると極限が1/2であることが示せます。

    lim[x→0](xe^x-e^x+1)/(xe^x-x)
    = lim[x→0](xe^x)/(xe^x+e^x-1) # ロピタルの定理の使用1回目
    = lim[x→0](xe^x+e^x)/(xe^x+2e^x) # ロピタルの定理の使用2回目
    = 1/2

    以下、ロピタルの定理を使わない場合の計算方法を示します。

    [補題1]
    e^x と 1+x+x^2/2 の大小関係は、
    x > 0 なら e^x > 1+x+x^2/2
    x = 0 なら e^x = 1+x+x^2/2
    x < 0 なら e^x < 1+x+x^2/2
    が成立する。

    [補題2]
    e^x と 1+x+(x^2/2)e^x の大小関係は
    x > 0 なら e^x < 1+x+(x^2/2)e^x
    x = 0 なら e^x = 1+x+(x^2/2)e^x
    x < 0 なら e^x > 1+x+(x^2/2)e^x
    が成立する。

    # 差を取り、導関数を(必要に応じて2次以降の導関数も)求めて
    # 増減を調べれば良いだけなので証明は割愛します。

    (1) x > 0 の場合
    補題1と補題2より、
    1+x+x^2/2 ≦ e^x ≦ 1+x+(x^2/2)e^x
    ⇒ 1+x/2 ≦ (e^x-1)/x ≦ 1+(x/2)e^x
    と言えます。

    {与式} = (xe^x-e^x+1)/(xe^x-x) = (e^x-(e^x-1)/x)/(e^x-1)
    ⇒ (e^x-(1+(x/2)e^x))/(e^x-1) ≦ {与式} ≦ (e^x-(1+x/2))/(e^x-1)
    ⇒ 1-(1/2)e^x*x/(e^x-1) ≦ {与式} ≦ 1-(1/2)x/(e^x-1)

    ここで、
    lim[x→0]{x/(e^x-1)} = lim[x→0]{1/{(e^x-e^0)/x}}
    上記は e^x の x = 0 の時の微分係数の逆数です。
    # 高校数学の範囲外ですが、厳密には lim[x→+0] なので右微分係数です。
    # e^x は任意の実数xで右微分係数と左微分係数が一致するので、微分係数としても大丈夫です。

    e^x の導関数は e^x なので、
    lim[x→0]{x/(e^x-1)} = 1/e^0 = 1/1 = 1
    となります。

    以上から、x→0 のとき
    1-(1/2)e^0*1 ≦ {与式} ≦ 1-(1/2)*1
    ⇒ {与式} = 1/2
    となります。

    (2) x < 0 の場合
    補題1と補題2より、
    1+x+(x^2/2)e^x ≦ e^x ≦ 1+x+x^2/2
    ⇒ 1+(x/2)e^x ≧ (e^x-1)/x ≧ 1+x/2
    # 負の数であるxで除算したため不等号の向きが反転しています。

    以降の式変形は x > 0 の場合とほぼ同じなので割愛します。

    補題1はともかく、補題2の不等式を思い付くのは難易度が高いと思います。
    # 私もgemini3に質問して、その誤った解法(!)からヒントを得ました!
    長文失礼しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]


■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■53019 / 親記事) 　極限
□投稿者/ 肉まん 一般人(1回)-(2026/01/19(Mon) 12:34:08)
    lim[n→∞] n Σ[k=n+1→2n]1/k^2

    の求め方を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■53020 / ResNo.1) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2026/01/19(Mon) 19:12:46)
    lim[n→∞]nΣ[k=n+1〜2n]1/k^2
    =lim[n→∞]nΣ[k=1〜n]1/(n+k)^2
    =lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]1/(1+k/n)^2
    =∫[0〜1]1/(1+x)^2 dx
    =1/2
    となりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■53021 / ResNo.2) 　Re[2]: 極限
□投稿者/ 肉まん 一般人(2回)-(2026/01/19(Mon) 19:44:12)
    ありがとうございます！！
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]


■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■53016 / 親記事) 　不等式
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2026/01/12(Mon) 18:33:25)
    ご教授ください。

    「実数x,y,z について、

    　x^3+y^3+z^3=xyz , x＜＝ｙ＜＝ｚ ⇒ x^3+y^3＜＝0」

    を証明してください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■53017 / ResNo.1) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2026/01/12(Mon) 22:37:08)
    x≦y≦z かつ x^3+y^3＞0 を仮定すると
    x^3+y^3＞0 から x^3+y^3+z^3＞z^3
    x≦y かつ x^3+y^3＞0 から y＞0 なので x≦y≦z から xyz≦z^3
    よってx^3+y^3+z^3＞xyzとなりx^3+y^3+z^3=xyzを満たさないので、
    x^3+y^3+z^3=xyz かつ x≦y≦z ならば x^3+y^3≦0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■53018 / ResNo.2) 　Re[2]: 不等式
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2026/01/13(Tue) 09:01:59)
    らすかく様

    素晴らしい証明有り難うございます。
    直接法で証明しようとしたのですが、中々上手くいかず、質問させて頂き増した。
    今後もよろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]


■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■53012 / 親記事) 　正六角柱
□投稿者/ イルカ 一般人(1回)-(2026/01/09(Fri) 12:27:58)
    正六角柱を6色全て使って塗り分ける時、
    隣接する面が異なる色で塗られたものは何通り出来ますか？
    回転して一致するものは1通りと数えることにします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■53013 / ResNo.1) 　Re[1]: 正六角柱
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2026/01/09(Fri) 15:16:05)
    底面2面を同じ色で塗る場合、まずその底面の色の選び方が6通り。
    側面6面を5色で塗るので1色だけ2面に使うことになり、その選び方が5通り。
    そしてその2面の配置は「対面」か「対面でない」の2通りであり、
    対面でないときは残りの4色の配置が4!/2通り、
    対面のときは残りの4色の配置が3!通り
    よって底面2面を同じ色で塗る場合は6×5×(4!/2+3!)=540通り

    底面2面を異なる色で塗る場合、まずその底面の色の選び方は6C2通り。
    側面6面を4色で塗るので1色だけ3面に塗るか2色を2面に塗るかのいずれか。
    1色だけ3面に塗るとき、その色の選び方は4通りで塗り方は1通り、
    残りの色の配置は2通り。
    2色を2面に塗るとき、配置は
    ababxy axabyb abaxby abxaby
    の4通りでそれぞれの配色は
    ababxy と abaxby: それぞれ4!通り
    axabyb と abxaby: それぞれ4!/2通り
    となるので、底面2面を異なる色で塗る場合は
    6C2×(4×2+4!×2+(4!/2)×2)=1200通り

    従って全部で 540+1200=1740通り。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■53014 / ResNo.2) 　Re[2]: 正六角柱
□投稿者/ イルカ 一般人(2回)-(2026/01/09(Fri) 17:53:59)
    有難うございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]


■記事リスト / ▲上のスレッド
■53011 / 親記事) 　整数問題
□投稿者/ うま 一般人(1回)-(2026/01/04(Sun) 13:10:41)
    p^6*q^2 + p^3*q^4 + 1 = n^2
    （p,q は素数，n は自然数）
    を満たす解の求め方を教えて下さい．
引用返信/返信 [メール受信/OFF]


Mode/　 Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター