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レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

積分不等式(1) |

スピアマンの順位相関係数の求め方について(0) |

sin(x)sin(x+1)<c(2) |

積分(0) |

(x^x)^x = x^(x^2)(4) |

数字が重複しない積(1) |

イデアル(2) |

自然数(2) |

klog(1+1/k) < 1を証明する(2) |

余り(2) |

確率(3) |

n乗根(1) |

lim[θ→0](θ/sinθ)(2) |

設問ミスですか？それとも解けますか？(1) |

台形(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

ζ関数(1) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

羅生門(1) |

確率(2) |

平方数(3) |

52545の「約数の個数」の式変形について(5) |

体(3) |

約数(1) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

極限(3) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

■52887 / 親記事)

　積分不等式

□投稿者/ 秋田犬一般人(1回)-(2025/06/04(Wed) 19:42:48)

a≧0
f(x)>0
f'(x)>0
のとき0≦x≦π/4で
f(x)≧∫[a,x+a]sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))dt
が成り立つことの証明を教えてください
秋田大の問題です

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52890 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分不等式

□投稿者/ WIZ 一般人(14回)-(2025/06/05(Thu) 12:01:34)

2025/06/05(Thu) 19:59:41 編集(投稿者)

不定積分の1つを g(t) = ∫{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt とおきます。

x > 0 の場合、平均値の定理より a < c < x+a となるcが存在して、
g(x+a)-g(a) = ((x+a)-a)g'(c) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) となります。
0 < c-a < x ≦ π/4 なので sin(c-a) > 0, cos(c-a) > 0 ですので、
g(x+a)-g(a) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) > 0 といえます。

ここで、0 < sin(c-a)cos(c-a) = sin(2(c-a))/2 < 2(c-a)/2 < x です。
また、f'(x) > 0 よりf(x)は単調増加なのと、
0 < sin(c-a) < c-a < x なので 0 < f(sin(c-a)) ≦ f(x) ですので、
0 < g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) となります。

x = 0 の場合、g(x+a)-g(a) = (x^2)f(x) = 0 ですので、
0 ≦ x ≦ π/4 の範囲で 0 ≦ g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) は成立します。

0 ≦ x ≦ π/4 < 1 なので x^2 < 1 ですので、
f(x) > (x^2)f(x) ≧ g(x+a)-g(a) = ∫[a, x+a]{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt
といえます。

# a ≧ 0 という条件は使用せず、不要となってしまっていることから、
# 私の解法は何らかの考え漏れがあるのかもしれません。

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■52886 / 親記事)

　スピアマンの順位相関係数の求め方について

□投稿者/ ねこねこ一般人(1回)-(2025/05/27(Tue) 00:13:58)

スピアマンの順位相関係数について質問です。

以下のような2つのデータがあります。これは10人の学生について調査したもので、
「アロハ」は親指と小指を広げた長さ（cm）、
「キュビット」は肘から中指までの長さ（cm）を表しています。

学生名とそれぞれの値は以下のとおりです：
• 学生：イ、ロ、ハ、ニ、ホ、ヘ、ト、チ、リ、ヌ
• アロハ(cm)：17.0, 15.5, 16.5, 17.5, 17.0, 16.0, 16.0, 18.0, 17.0, 16.0
• キュビット(cm)：36, 39, 40, 41, 38, 40, 42, 41, 41, 40

スピアマンの相関係数を求めて、どのような相関関係があるのか確かめなさい。

数値は少数第2位まで、3位以下は四捨五入して入力してください。

(携帯)

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■52879 / 親記事)

　微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ 星は昴一般人(1回)-(2025/05/24(Sat) 18:30:11)

　　f(x) = (n+mx)/√(1+x^2 ) = (n+mx)/(1+x^2 )^(1/2)　　 (n,m は正の定数:x>0)

　　f'(x) = (m-nx)/{(1+x^2 )√(1+x^2 )} = 0

　　x = m/n
　　x<m/n⇒f'(x)>0
　　x>m/n⇒f'(x)<0

　したがってf(x)はx = mnで極大値をとる。

　　f(m/n) = √{(n^2+m^2)/n}　 ①

　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = lim[x→∞](n/x+m)/√(1/x^2 +1) = m ……②

　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = n ……③

　①が最大値であることを示すために、①②③の二乗を比較して①＞②、①＞③を証明したいがうまくいきません。
　①と③を比較して

　　{(n^2+m^2)/n}/n^2 = (n^2+m^2)/n^3

とやっても、大小関係がわかりません。どうしたらいいでしょうか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52881 / ResNo.1)

　Re[1]: 微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ らすかる一般人(30回)-(2025/05/24(Sat) 18:55:41)

x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まりますので
②や③の計算は不要です。

また、①は間違っています。f(m/n)=√(n^2+m^2)です。

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■52882 / ResNo.2)

　微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ 星は昴一般人(2回)-(2025/05/24(Sat) 19:02:08)

　すばやい回答まことにありがとうございます。
> x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
> x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
> とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まります
　極値（この場合極大値）が１つしかないからですか？

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■52884 / ResNo.3)

　Re[3]: 微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ らすかる一般人(31回)-(2025/05/25(Sun) 11:36:47)

結果的にはそういうことになるかも知れませんが、そんな難しいことは考えていません。
グラフで考えて
f(x)はx＜m/nで増加 → xをm/nから減らしていけばf(x)は減少し続ける → x＜m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
f(x)はx＞m/nで減少 → xをm/nから増やしていけばf(x)は減少し続ける → x＞m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
ということですから、f(m/n)は最大値になります。
# もちろん、これが言えるのはf(x)が連続だからです。

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■52878 / 親記事)

　自然数　階乗

□投稿者/ ココス一般人(1回)-(2025/05/18(Sun) 09:05:47)

a,b,c,dが自然数で
a! b! +a = c! d! +c
が成り立つとき
(a,b) = (c,d)
であると結論できますか?

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■52877 / 親記事)

　期待値と極限

□投稿者/ ニコイチ一般人(1回)-(2025/05/15(Thu) 12:02:26)

mを正の整数とし、nはm以上の整数とする。
箱の中に1からnまでの数字が書かれたカードが1枚ずつ合計n枚入っている。
箱からカードを1枚取り出し、数字を確認してから箱に戻すという試行をm回繰り返し、確認した数字のうち最大のものをXとする。
次に箱から同時にm枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数字のうち最大のものをYとする。
Xの期待値をE[X]、Yの期待値をE[Y]としたとき、lim[n→∞](E[X]/E[Y])^nの求め方を教えて下さい。

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