数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 33]

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■50901 / 親記事)

　積分の漸化式

□投稿者/ 積分一般人(1回)-(2021/07/09(Fri) 09:15:14)

I[n]=∫((1+cosx)/2)^(n-1)(-1/cosx)^ndx
と定めるときI[n+1]をI[n]であらわせ。

この問題が解けません。教えて下さい。

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■50902 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分の漸化式

□投稿者/ 積分一般人(2回)-(2021/07/09(Fri) 15:01:07)

■No50901に返信(積分さんの記事)
> I[n]=∫((1+cosx)/2)^(n-1)(-1/cosx)^ndx
> と定めるときI[n+1]をI[n]であらわせ。
>
> この問題が解けません。教えて下さい。

解決しました。ありがとうございました。

解決済み!

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■50903 / ResNo.2)

　Re[2]: 積分の漸化式

□投稿者/ 積分一般人(3回)-(2021/07/09(Fri) 15:25:41)

上の人は別人です。なりすましです。
まだ解決していません。

引き続きご指導よろしくお願いします。

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■50878 / 親記事)

　cosθ

□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤一般人(1回)-(2021/07/01(Thu) 21:04:48)

cosθ, cos2θ, cos3θ, cos4θ, ....... , coskθ, .......
という数列のどこか連続する4項が有理数ならば、
この数列は全ての項が有理数だと言えますか？

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■50879 / ResNo.1)

　Re[1]: cosθ

□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2021/07/02(Fri) 21:45:06)

# θとタイプするのが面倒なので、t とタイプさせて頂きます。

cos(t) が有理数であることが示せれば十分です。
何故なら、任意の自然数 k に対して、cos(kt) は cos(t) の整数係数の整式になるからです。

k を自然数、p, q, r, s を有理数として、
p = cos(kt) ・・・・・(1)
q = cos((k+1)t) ・・・・・(2)
r = cos((k+2)t) ・・・・・(3)
s = cos((k+3)t) ・・・・・(4)
とします。

(1)(2)より、
q = cos(kt)cos(t)-sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-sin(kt)sin(t)
⇒ sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-q ・・・・・(5)

(1)(3)(5)より、
r = cos(kt)cos(2t)-sin(kt)sin(2t)
= p(2cos(t)^2-1)-2sin(kt)sin(t)cos(t)
= p(2cos(t)^2-1)-2(p*cos(t)-q)cos(t)
= 2q*cos(t)-p ・・・・・(6)

q ≠ 0 ならば、(6)より
cos(t) = (p+r)/(2q) ・・・・・(7)

q = 0 ならば、(6)より
r = -p ・・・・・(8)

(2)より、
q = cos((k+1)t) = 0
⇒ sin((k+1)t) = ±1 ・・・・・(9)

(3)(8)(9)より、
r = cos((k+1)t)cos(t)-sin((k+1)t)sin(t) = -sin((k+1)t)sin(t)
⇒ (-p)^2 = (-sin((k+1)t)sin(t))^2 = sin(t)^2
⇒ p^2 = 1-cos(t)^2
⇒ cos(t)^2 = 1-p^2 ・・・・・(10)

(4)(5)より、
s = cos(kt)cos(3t)-sin(kt)sin(3t)
= p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)(3sin(t)-4sin(t)^3)
= p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)sin(t)(3-4sin(t)^2)
= p(4cos(t)^3-3cos(t))-p*cos(t)(4cos(t)^2-1)
= -2p*cos(t) ・・・・・(11)

p ≠ 0 ならば、(11)より
cos(t) = -s/(2p) ・・・・・(12)

p = 0 ならば、(10)より
cos(t) = ±1 ・・・・・(13)

以上から、
q ≠ 0 なら cos(t) = (p+r)/(2q)
q = 0 かつ p ≠ 0 なら cos(t) = -s/(2p)
q = 0 かつ p = 0 なら cos(t) = ±1
・・・と、いずれも cos(t) は有理数になります。
よって、連続4項が有理数なら全項が有理数と言えます。

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■50882 / ResNo.2)

　Re[2]: cosθ

□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤一般人(2回)-(2021/07/04(Sun) 14:58:13)

大変美しい解答を有難うございました。

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■50863 / 親記事)

　連立方程式

□投稿者/ まるは一般人(1回)-(2021/06/26(Sat) 11:13:16)

の、解法と答えを教えて下さい

a^2+b^2=c^2
b^2-{c-(b-a)}=ba
a^2+{c+(b-a)}=ac

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■50866 / ResNo.1)

　Re[1]: 連立方程式

□投稿者/ らすかる付き人(61回)-(2021/06/26(Sat) 19:13:05)

第3式から (a-1)c=a^2-a+b
第2式から c=b^2-ab-a+b … (1)
なので (a-1)c=(a-1)(b^2-ab-a+b)
よって a^2-a+b=(a-1)(b^2-ab-a+b)
整理して (b+2)a^2-(b^2+2b+2)a+b(b+2)=0 … (2)
第1式に(1)を代入して a^2+b^2=(b^2-ab-a+b)^2
整理して b{(b+2)a^2-2(b^2+2b+1)a+b^2(b+2)}=0 … (3)
b=0のとき(3)は成り立ち、(2)からa(a-1)=0
a=0のとき(1)からc=0
(a,b,c)=(0,0,0)は全式を満たすので解
a=1のとき(1)からc=-1
(a,b,c)=(1,0,-1)も全式を満たすので解
b≠0のとき(3)から (b+2)a^2-2(b^2+2b+1)a+b^2(b+2)=0 … (4)
(2)から(b+2)a^2=(b^2+2b+2)a-b(b+2)
(4)から(b+2)a^2=2(b^2+2b+1)a-b^2(b+2)
2式から (b^2+2b+2)a-b(b+2)=2(b^2+2b+1)a-b^2(b+2)
整理して (b+2)(a-b+1)=0 … (5)
b=-2のとき(5)は成り立ち、(2)からa=0、(1)からc=2
(a,b,c)=(0,-2,2)も全式を満たすので解
b≠-2のとき(5)から a-b+1=0 すなわち a=b-1
(2)に代入して
(b+2)(b-1)^2-(b^2+2b+2)(b-1)+b(b+2)=0
これより b=4 なので a=b-1=3、(1)からc=5
(a,b,c)=(3,4,5)も全式を満たすので解
従って解は
(a,b,c)=(0,0,0),(1,0,-1),(0,-2,2),(3,4,5)
の4組。

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■50868 / ResNo.2)

　Re[2]: 連立方程式

□投稿者/ まるは一般人(2回)-(2021/06/27(Sun) 15:10:57)

ありがとうございました！！

解決済み!

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■50853 / 親記事)

　大学証明問題真偽判定

□投稿者/ ひ一般人(1回)-(2021/06/20(Sun) 20:25:39)

(1)∀y∈R,∃x∈R,y=sin(x)
(2)∀ε>0,∃δ1>0,∃δ2>0,δ1^2+δ2^2<ε
(3)∀ε>0,∃δ>0,∀x>0,(ε+δ)^x>1
ご回答いただけると幸いです。

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■50856 / ResNo.1)

　Re[1]: 大学証明問題真偽判定

□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2021/06/21(Mon) 13:45:35)

R は実数体、他の不等号が出てくる式中の変数も実数であると解釈して回答します。

(1) ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, y = sin(x)
「任意の実数 y に対して、ある実数 x が存在して、y = sin(x) となる」
|y| > 1 ならば対応する x が存在しないので、判定は偽です。

(2) ∀ε> 0, ∃δ[1] > 0, ∃δ[2] > 0, δ[1]^2+δ[2]^2 < ε
「任意の正実数 εに対して、ある正実数 δ[1] とδ[2] が存在して、δ[1]^2+δ[2]^2 < εとなる」
0 < δ[1] < √(ε/2) かつ 0 < δ[2] < √(ε/2) と選べるので、判定は真です。

(3) ∀ε> 0, ∃δ> 0, ∀x > 0, (ε+δ)^x > 1
「任意の正実数 εに対して、ある正実数 δが存在して、全ての正実数 x について (ε+δ)^x > 1 となる」
1より大きい実数の、指数が正の実数である冪は1より大きいです。
# a > 1 かつ b > 0 ならば、a^b > 1 ということ。
よって、ε+δ > 1 となるように δを選べるので、判定は真です。

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■50857 / ResNo.2)

　Re[2]: 大学証明問題真偽判定

□投稿者/ ひ一般人(2回)-(2021/06/21(Mon) 15:46:11)

分かりやすい解説をしていただきありがとうございます。

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■50850 / 親記事)

　放物線の面積

□投稿者/ 要人一般人(1回)-(2021/06/19(Sat) 09:55:27)

放物線C:y=(1/2)x^2上の点Pのx座標をa(>0)とする。
点PにおけるCの接線をl[1]、l[1]と直交するCの接線をl[2]とする。
このとき、二直線l[1]、l[2]と放物線Cで囲まれる部分の面積を求めよ。

教えて下さい。

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■50851 / ResNo.1)

　Re[1]: 放物線の面積

□投稿者/ X 一般人(1回)-(2021/06/19(Sat) 14:24:45)

y=(1/2)x^2
より
y'=x (A)
∴l[1]の方程式は
y=a(x-a)+(1/2)a^2
整理して
y=a(x-a/2) (B)
又l[1]⊥[2]により
l[2]の傾きは-1/a
∴l[2]の接点のx座標をbとすると(A)から
-1/a=b
∴l[2]の方程式は
y=-(1/a)(x+1/a)+(1/2)(-1/a)^2
整理をして
y=-(1/a){x+1/(2a)} (C)
(B)(C)を連立して解くことにより
l[1],l[2]の交点のx座標は
(1/2)(a-1/a)
以上とC,l[1],l[2]の位置関係により
求める面積をSとすると
S=∫[-1/a→(1/2)(a-1/a)]{(1/2)x^2+(1/a){x+1/(2a)}}dx
+∫[(1/2)(a-1/a)→a]{(1/2)x^2-a(x-a/2)}dx
=(1/2)∫[-1/a→(1/2)(a-1/a)]{{x+1/(2a)}^2}dx
+(1/2)∫[(1/2)(a-1/a)→a]{(x-a/2)^2}dx
=(1/6)(a/2)^3+(1/6){1/(2a)}^3+(1/6)(a/2)^3+(1/6){(1/(2a)}^3
=(1/24)(a^3+1/a^3)

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■50852 / ResNo.2)

　Re[2]: 放物線の面積

□投稿者/ 要人一般人(2回)-(2021/06/19(Sat) 17:23:12)

ありがとうございます。
本当に分かりやすかったです。

解決済み!

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