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■51863 / 親記事)

　複素数の問題

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□投稿者/ なにぬせの一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 23:32:19)

よろしくお願いします。

640×326 => 250×127

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■51865 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素数の問題

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□投稿者/ マシュマロ一般人(4回)-(2022/06/06(Mon) 21:05:39)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

こんにちは☆

見たところ、条件が「あるｚについて、ｗが外接円上にある」という意味ならば
述べられている結論は成り立たないようなので、
題意としては「α，β，ｚが三角形の位置をなす任意のｚについて」
ｗが外接円上にあるという意味だと推測されます。
そのような意味であるとして考えてみました。

　　　＊＊＊＊＊

α，β，ｚ，ｗが共円なので、∠αｗβ＝∠αｚβまたは
∠αｗβ＋∠αｚβ＝πです。
これらの条件は

（ｗ－α）／（ｗ－β）＝ｒ（ｚ－α）／（ｚ－β）　（ｒ：実数）

と表されます。分母をはらうと

（ｗ－α）（ｚ－β）＝ｒ（ｚ－α）（ｗ－β）

整理すると

［ｒ（ｚ－α）－（ｚ－β）］ｗ＝ｒβ（ｚ－α）－α（ｚ－β）

ここで、ｗ＝ｆ（ｚ）＝（aｚ－ｂ）／（ｚ＋a－ｃ）を
上式に代入して分母をはらうと

①　［ｒ（ｚ－α）－（ｚ－β）］（aｚ－ｂ）
　　＝［ｒβ（ｚ－α）－α（ｚ－β）］（ｚ＋a－ｃ）

左辺－右辺はｚの２次式で、これが恒等的に０になることから
２次の係数も０です。すなわち

（ｒ－１）a－（ｒβ－α）＝０

ｒ＝１ならα＝βとなって仮定に反するのでｒ≠１です。

よって上式から

a＝ｒβ／（ｒ－１）－α／（ｒ－１）

となります。この式はaがα，βを結んだ直線上にあることを示しています。
（ｓα＋ｔβ，ｓ＋ｔ＝１の形なので、
ベクトルとして見ると直線上にあることが明らかです）

　　　＊＊＊＊＊

これで一応示せているとは思いますが、ｆ（α）＝α，ｆ（β）＝βの
条件は不必要なので、不可解です。

かといって、「あるｚについてｗが外接円上にある」というのでは
ｒが直線αβ上になくても２次方程式①の解となるｚについては
条件が満たされることになります。

もしかすると私が何か勘違いしているのかもしれませんが、
一応、上のような解答を考えてみました。
ご参考になれば幸いです。
ではでは☆

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■51867 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数の問題

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□投稿者/ マシュマロ一般人(5回)-(2022/06/06(Mon) 21:34:03)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

下から６行目の冒頭は

ｒが → aが

でした。

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■51869 / ResNo.3)

　Re[1]: 複素数の問題

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□投稿者/ マシュマロ一般人(6回)-(2022/06/09(Thu) 23:27:49)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

すみません、訂正です。
①式の左辺－右辺は２次の係数×（ｚ－α）（ｚ－β）となるので、
ｚ≠α，βの仮定から「あるｚについて題意の条件が成り立てば」
ｒは直線αβ上にあるといえます。

不動点α，βはｆ（ｚ）＝ｚを満たすので、分母を払って整理すると
ｚ＾２－ｃｚ＋ｂ＝０の２根となります。
よって解と係数の関係から
α＋β＝ｃ，αβ＝ｂとなり、これを使って①の左辺－右辺を計算すると
上のようになります。

問題は間違っていませんでした（汗

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