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□投稿者/ 掛け流し掛け流し 一般人(1回)-(2021/07/07(Wed) 23:39:36)
 | 平面上のベクトル a,bが
｜a＋２ｂ｜＝１、｜２a−b｜＝1
を満たしているとき、｜a−２ｂ｜の取り得る値の範囲を求めよ。
(答えは、1/5＜＝｜a−２ｂ｜＜＝7/5)
の解法を教えてください。
よろしくお願いします。
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
| ■50895 / ResNo.1) |
Re[1]: ベクトルの大きさ
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□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2021/07/08(Thu) 13:44:08)
| 2021/07/08(Thu) 15:19:21 編集(投稿者)
xy座標でべクトルを原点 (0, 0) を始点とた終点の座標 (x, y) で表すことにすると、
|(x, y)| = √(x^2+y^2) です。
p, q, r, s を実数として、a = (p, q), b = (r, s) とします。
|a+2b| = |(p, q)+2(r, s)| = |(p+2r, q+2s)| = 1
⇒ (p+2r)^2+(q+2s)^2 = 1^2 ・・・・・(0)
上記より、ある実数 u が存在して
p+2r = cos(u) ・・・・・(1)
q+2s = sin(u) ・・・・・(2)
とおけます。
|2a-b| = |2(p, q)-(r, s)| = |(2p-r, 2q-s)| = 1
⇒ (2p-r)^2+(2q-s)^2 = 1^2
上記より、ある実数 v が存在して
2p-r = cos(v) ・・・・・(3)
2q-s = sin(v) ・・・・・(4)
とおけます。
(1)(3)より
(p+2r)+2(2p-r) = cos(u)+2cos(v)
⇒ p = (cos(u)+2cos(v))/5 ・・・・・(5)
⇒ r = 2(cos(u)+2cos(v))/5-cos(v) = (2cos(u)-cos(v))/5 ・・・・・(6)
(2)(4)より
(q+2s)+2(2q-s) = sin(u)+2sin(v)
⇒ q = (sin(u)+2sin(v))/5 ・・・・・(7)
⇒ s = 2(sin(u)+2sin(v))/5-sin(v) = (2sin(u)-sin(v))/5 ・・・・・(8)
|a-2b| = |(p, q)-2(r, s)| = |(p-2r, q-2s)|
⇒ |a-2b|^2 = (p-2r)^2+(q-2s)^2 = (p+2r)^2+(q+2s)^2-8pr-8qs
(0)(5)(6)(7)(8)より、
⇒ |a-2b|^2 = 1-8((cos(u)+2cos(v))/5)((2cos(u)-cos(v))/5)-8((sin(u)+2sin(v))/5)((2sin(u)-sin(v))/5)
= 1-(8/25)((cos(u)+2cos(v))(2cos(u)-cos(v))+(sin(u)+2sin(v))(2sin(u)-sin(v)))
= 1-(8/25)(2cos(u)^2+3cos(u)cos(v)-2cos(v)^2+2sin(u)^2+3sin(u)sin(v)-2sin(v)^2)
= 1-(8/25)(2(cos(u)^2+sin(u)^2)+3(cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v))-2(cos(v)^2+sin(v)^2))
= 1-(8/25)(2+3cos(u-v)-2)
= 1-(24/25)cos(u-v)
-1 ≦ cos(u-v) ≦ 1 ですから
1-(24/25)(1) ≦ |a-2b|^2 ≦ 1-(24/25)(-1)
⇒ 1/25 ≦ |a-2b|^2 ≦ 49/25
|a-2b| ≧ 0 だから、1/5 ≦ |a-2b| ≦ 7/5 となります。
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| ■50897 / ResNo.2) |
Re[2]: ベクトルの大きさ
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□投稿者/ 掛け流し掛け流し 一般人(2回)-(2021/07/09(Fri) 02:30:10)
| 分かりずらいよ。もっと短く説明して
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| ■51789 / ResNo.3) |
Re[1]: ベクトルの大きさ
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□投稿者/ nacky 一般人(2回)-(2021/12/22(Wed) 10:08:19)
| x=a+2b, y=2a-b とおくと条件より |x|=|y|=1 であり
a=(x+2y)/5, b=(2x-y)/5
となります.
よって
a-2b=(-3x+4y)/5
となるので問題は
「|x|=|y|=1 のとき |(-3x+4y)/5| の範囲を求めよ」
と言い換えることができます. これを解きましょう.
まず
|(-3x+4y)/5|=|-3x+4y|/5
なので |-3x+4y| の範囲を調べます.
二つのベクトル u,v の内積を単に積の様に uv と書くことにすると
|-3x+4y|^2=(-3x+4y)(-3x+4y)
=9|x|^2-24xy+16|y|^2
=25-24xy (|x|=|y|=1 を使った)
内積の定義より
xy=|x||y|cosθ=cosθ
となり
-1<=xy<=1
となることがわかるので
1<=|-3x+4y|^2<=49.
|-3x+4y| は非負の数なので
1<=|-3x+4y|<=7
したがって
1/5<=|(-3x+4y)/5|<=7/5
である.
以上から答えのとおり
1/5<=|a-2b|<=7/5
が得られました.
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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25)
