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■記事リスト / ▼下のスレッド
■52414 / 親記事)  確率
□投稿者/ Z 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:17:22)
    2個のサイコロX,Yをn回投げる。
    k回目に出たX,Yの目をx[k],y[k]とする。
    x[1]y[1]+x[2]y[2]+…+x[n]y[n]
    が3の倍数になる確率を求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52417 / ResNo.1)  Re[1]: 確率
□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2023/12/28(Thu) 21:22:46)
    2023/12/28(Thu) 22:48:19 編集(投稿者)

    a[k] = Σ[j=1,k]{x[j]y[j]}とおきます。

    k回目でa[k]の値が、3の倍数になる確率をp[k]、
    3で割った余りが1になる確率をq[k]、
    3で割った余りが2になる確率をr[k]とします。

    k = 1のとき、(x[1], y[1])の組み合わせは全部で6*6 = 36通りです。

    (1, 1)(1, 4)(2, 2)(2, 5)(4, 1)(4, 4)(5, 2)(5, 5)の8通りで
    x[1]y[1] ≡ 1 (mod 3)なので、q[1] = 8/36 = 2/9です。

    (1, 2)(1, 5)(2, 1)(2, 4)(4, 2)(4, 5)(5, 1)(5, 4)の8通りで
    x[1]y[1] ≡ 2 (mod 3)なので、r[1] = 8/36 = 2/9です。

    残りの20通りはx[1]またはy[1]が3の倍数なので、p[1] = 20/36 = 5/9です。

    k > 1のとき、
    a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)なら、
    a[k] ≡ 0 (mod 3)なので、
    p[k] = (5/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(1)
    となります。

    a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)なら、
    a[k] ≡ 1 (mod 3)なので、
    q[k] = (2/9)p[k-1]+(5/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(2)
    となります。

    a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)なら、
    a[k] ≡ 2 (mod 3)なので、
    r[k] = (2/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(5/9)r[k-1]・・・(3)
    となります。

    (2)-(3)より、
    q[k]-r[k] = (3/9)q[k-1]-(3/9)r[k-1]
    ⇒ q[k]-r[k] = ((3/9)^(k-1))(q[1]-r[1]) = 0
    ⇒ q[k] = r[k]・・・(4)

    (4)→(1)より、
    p[k] = (5/9)p[k-1]+(4/9)q[k-1]
    ⇒ q[k-1] = (9/4)p[k]-(5/4)p[k-1]・・・(5)

    (4)(5)→(2)より、
    (9/4)p[k+1]-(5/4)p[k] = (2/9)p[k-1]+(7/9)((9/4)p[k]-(5/4)p[k-1])
    ⇒ (9/4)p[k+1]-(12/4)p[k]-(3/4)p[k-1] = 0
    ⇒ 3p[k+1]-p[k] = 3p[k]-p[k-1]・・・(6)

    (1)より、
    p[2] = (5/9)p[1]+(2/9)q[1]+(2/9)r[1] = 11/27・・・(7)

    (6)(7)より、
    3p[k+1]-p[k] = 3p[2]-p[1] = 2/3
    ⇒ 3p[k+1]-1 = p[k]-1/3
    ⇒ p[k]-1/3 = ((1/3)^(k-1))(p[1]-1/3) = 2/(3^(k+1))
    ⇒ p[k] = 1/3+2/(3^(k+1))

    上記はk = 1でも成り立ちます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52436 / ResNo.2)  Re[2]: 確率
□投稿者/ Z 一般人(2回)-(2024/01/02(Tue) 15:24:17)
    詳しくありがとうございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52406 / 親記事)  低レベルな問題ですいません
□投稿者/ kei 一般人(4回)-(2023/12/09(Sat) 12:17:53)

     -cos0°.6165t = 0.9744

     ゆえに t ≒ 271

     数学が苦手でして、
     なぜ、tになるのでしょうか?
     tにいたるまでの式がどうしてもわかりません。

     夜も眠れません&#128557;
     
     なにとぞ御教授宜しくお願い致します。
     


     


引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52407 / ResNo.1)  Re[1]: 低レベルな問題ですいません
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2023/12/09(Sat) 13:54:27)
    -cos(0.6165t)°=0.9744
    cos(0.6165t)°=-0.9744
    (0.6165t)°=arccos(-0.9744)
    t=arccos(-0.9744)/0.6165°
    arccos(-0.9744)≒167°なので
    t=167°/0.6165°≒271
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52408 / ResNo.2)  Re[2]: 低レベルな問題ですいません
□投稿者/ kei 一般人(5回)-(2023/12/09(Sat) 16:14:58)
    ありがとうございます!
    これでやっと眠れます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52390 / 親記事)  環でしょうか
□投稿者/ きんぴら5号 一般人(1回)-(2023/12/01(Fri) 14:31:39)
    自作問題です。iは虚数単位です。
    整数a,bがa≡b(mod2)のときg(a,b)=(a+bi)/2と表せる数全体をGとする。
    Gは環であるか?

    加減算について閉じていることは分かるのですが
    乗算について閉じているのか、いないのかが分かりません。

    整数c,dがc≡d(mod2)のときg(a,b)*g(c,d)={(ac-bd)+(ad+bc)i}/4ですので
    ac-bdとad+bcが共に偶数で、(ac-bd)/2と(ad+bc)/2がmod2で合同であれば良いのですが
    g(a,b)*g(c,d)∈Gを示すことも否定することもできていません。

    分かる方がいましたら教えてください。よろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52391 / ResNo.1)  Re[1]: 環でしょうか
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2023/12/01(Fri) 14:44:59)
    質問の意味を誤解しているかも知れませんが、
    {(1+i)/2}^2=(0+i)/2なので閉じていないのでは?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52392 / ResNo.2)  Re[1]: 環でしょうか
□投稿者/ きんぴら5号 一般人(2回)-(2023/12/01(Fri) 15:38:00)
    らすかる様返信ありがとうございます。
    質問した乗法に閉じているかの反例になっています。
    つまり、Gは環ではなかったということですね。(残念)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52372 / 親記事)  速度
□投稿者/ waka 一般人(4回)-(2023/11/03(Fri) 09:56:29)
    よろしくお願いいたします。
    問題
     表面積Sが4πcm^2/sの一定の割合で増加している球がある。半径が10cmになった瞬間において、次のものを求めよ。
    (1)半径の増加する速度

    表面積の増加を始めてt秒後の球の半径をrcm, 表面積をScm^2とする。

    dS/dt=4πと解答に書いてあるのですが、dS/dtがなぜ4πになるのかわかりません。基本的なことだとは思うのですがよろしくお願いします。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52373 / ResNo.1)  Re[1]: 速度
□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2023/11/03(Fri) 12:50:57)
    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    「s」は「秒」の意味と解釈します。

    「表面積Sが4πcm^2/sの一定の割合」を数式で表すと「dS/dt = 4π」となります。
    dS/dtは時間tに対する表面積Sの変化率を表しているからです。
    勿論、表面積Sの単位は「cm^2」で、時間tの単位は「「s(秒)」です。

    以下余談

    半径をr[cm]とすると、表面積はS = 4πr^2[cm^2]ですから、
    4π = dS/dt = (dS/dr)(dr/dt) = ((d/dt)4πr^2)(dr/dt) = (8πr)(dr/dt)
    ⇒ dr/dt = 4π/(8πr) = 1/(2r)

    よって、r = 10[cm]の時の半径の増加速度はdr/dt = 1/(2*10) = 1/20[cm/s]
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52374 / ResNo.2)  Re[2]: 速度
□投稿者/ waka 一般人(5回)-(2023/11/03(Fri) 17:45:02)
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52368 / 親記事)  i^iについて
□投稿者/ たぬき 一般人(1回)-(2023/10/23(Mon) 22:19:11)
    オイラーの公式によりi=e^(iπ/2)だから、
    i^i=(e^(iπ/2))^i=e^((iπ/2)*i)=e^(-π/2)だと思います。

    一方、指数法則よりa≠0に対して(a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bなので、
    a=e,c=0とすると、(e^b)^0=e^(b*0)=(e^0)^bですが、
    (e^b)^0=1かつe^(b*0)=e^0=1なので(e^0)^b=1^b=1だと思います。
    上記を使うと(i^i)^4=(i^4)^i=1^i=1となるので、
    i^iは1の4乗根の±1か±iのどれかということになり、
    e^(-π/2)に一致しません。

    どこが間違っているのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52369 / ResNo.1)  Re[1]: i^iについて
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2023/10/23(Mon) 23:25:39)
    (a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bという指数法則は
    ・aが0以外の実数かつbとcが整数
    ・a>0かつbとcが実数
    のときは成り立ちますが、それ以外の時は一般に成り立ちません。
    (つまり虚数には使えません。)

    i^i=e^(-π/2)も違います。
    i^i=e^(ilogi)=e^{i(log|i|+iargi)}=e^{i(i(π/2+2nπ))}=e^(-π/2-2nπ)
    のように多価になります。

    1^i=1も違います。
    1^i=e^(ilog1)=e^{i(log|1|+iarg1)}=e^{i(i(2nπ)}=e^(-2nπ)
    のように、これも多価になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52370 / ResNo.2)  Re[1]: i^iについて
□投稿者/ たぬき 一般人(2回)-(2023/10/23(Mon) 23:45:55)
    指数関数は周期2πiを持ち、対数関数は複素数では多価関数となるのを忘れていました。
    回答ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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