数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 30]

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■51853 / 親記事)

　素数

□投稿者/ ナジャル一般人(1回)-(2022/06/03(Fri) 23:24:06)

pq-rs=pr+qs=t
をみたす素数p,q,r,s,tを教えて下さい。
求め方もよろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51854 / ResNo.1)

　Re[1]: 素数

□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2022/06/04(Sat) 00:43:41)

p,q,r,sがすべて奇素数とするとtが(2より大きい)偶数になって不適。
またp,q,r,sのうち2つ以上が2だとするとpq-rsかpr+qsのうち少なくとも一つが
偶数になって不適。従ってp,q,r,sのうちどれか一つだけが2。
pq-rs=pr+qsはp(q-r)=s(q+r),q(p-s)=r(p+s)のように変形できるのでp,qは2ではない。
rとsを入れ替えてpとqを入れ替えても式が成り立つので、
s=2として解を求め、rとs、pとqを交換したものも解とすればよい。
このときpq-2r=pr+2qすなわちp(q-r)=2(q+r)。
q=6m+1かつr=6n+1とするとq-rが3で割り切れq+rが3で割り切れないので不適。
q=6m-1かつr=6n-1のときも同じ。
q=6m+1かつr=6n-1とするとq+rが3で割り切れるがq-rが3で割り切れないので
p=3でなければならない。しかし3(q-r)=2(q+r)とするとr=5qとなり不適。
q=6m-1かつr=6n+1のときも同じ。
従ってqかrのいずれかは6k±1でない奇素数すなわち3でなければならない。
p(q-r)=2(q+r)からq=3とすると左辺が0以下になり不適なので、
r=3でなければならない。
pq-rs=pr+qsにr=3,s=2を代入して整理すると(p-2)(q-3)=12となるので
p=5,q=7と決まり、このときt=29。
rとs、pとqの入れ替えも解なので、条件を満たす解は
(p,q,r,s,t)=(5,7,3,2,29),(7,5,2,3,29)の2組。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51855 / ResNo.2)

　Re[2]: 素数

□投稿者/ ナジャル一般人(2回)-(2022/06/04(Sat) 10:13:42)

ありがとうございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51836 / 親記事)

　y=e^xの法線

□投稿者/ タ一般人(1回)-(2022/04/09(Sat) 14:45:15)

xy平面で以下の集合が表す領域はどのようなものになるのか教えて下さい
{(p,q) | 点(p,q)を通るy=e^xの法線が2本(以上)存在する}

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51837 / ResNo.1)

　Re[1]: y=e^xの法線

□投稿者/ らすかる一般人(13回)-(2022/04/09(Sat) 17:58:33)

2022/04/17(Sun) 12:50:31 編集(投稿者)

y=e^xの(t,e^t)における法線は
ye^t-e^(2t)=t-x
この法線が(p,q)を通るとき
qe^t-e^(2t)=t-p
f(t)=qe^t-e^(2t), g(t)=t-p とおくとf'(t)=qe^t-2e^(2t)
「y=f(x)とy=g(x)の交点が2個以上」⇔「f'(t)＞1となるようなtが存在する」
qe^t-2e^(2t)＞1が異なる2実数解を持つ条件はq＞2√2であり
解はlog{{q-√(q^2-8)}/4}＜t＜log{{q+√(q^2-8)}/4}
y=g(x)が点(log{{q-√(q^2-8)}/4},f(log{{q-√(q^2-8)}/4}))を通るとき
p=log{{q-√(q^2-8)}/4}-f(log{{q-√(q^2-8)}/4})
=log{{q-√(q^2-8)}/4}-{q^2+4-q√(q^2-8)}/8
y=g(x)が点(log{{q+√(q^2-8)}/4},f(log{{q+√(q^2-8)}/4}))を通るとき
p=log{{q+√(q^2-8)}/4}-f(log{{q+√(q^2-8)}/4})
=log{{q+√(q^2-8)}/4}-{q^2+4+q√(q^2-8)}/8
なので、求める領域は
y＞2√2 かつ
log{{y+√(y^2-8)}/4}-{y^2+4+y√(y^2-8)}/8≦x≦log{{y-√(y^2-8)}/4}-{y^2+4-y√(y^2-8)}/8
整理して
y＞2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦12log2-8log{y+√(y^2-8)}+y√(y^2-8)
さらに整理すれば
y＞2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦y√(y^2-8)-8arccosh(y/(2√2))

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51848 / ResNo.2)

　Re[2]: y=e^xの法線

□投稿者/ 夕一般人(1回)-(2022/04/17(Sun) 09:20:00)

ありがとうございます
思ったよりも難しいですね

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■51834 / 親記事)

　2023

□投稿者/ よぎぼー一般人(1回)-(2022/04/09(Sat) 10:21:34)

20a^2+2b^2+3c^2=2023
を満たす正の整数a,b,cを求めよ。

この問題を教えて下さい。
mod10で考えればよいのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51835 / ResNo.1)

　Re[1]: 2023

□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2022/04/09(Sat) 12:43:19)

k^2を3で割った余りは、kが3で割り切れるとき0、割り切れないとき1
aもbも3で割り切れるとき、左辺が3の倍数となり不適
aとbのうちどちらか一つのみ3で割り切れるとき、左辺を3で割った余りが2となり不適
従ってaとbは両方とも3で割り切れない … (1)

cが偶数だと左辺が偶数になって成り立たないのでcは奇数
このとき3c^2≡3(mod4)なので20a^2+2b^2≡0(mod4)
よってbは偶数
b=2m, c=2n-1を代入して整理すると
5a^2+2m^2+3n(n-1)=505 … (2)
n(n-1)は偶数なのでaは奇数 … (3)
a≧11だと(左辺)＞605となって不適なのでa＜11
(1)(3)からaは3で割り切れない奇数なので、a=1,5,7

a=1のとき(2)からm^2+3n(n-1)/2=250
a=5のとき(2)からm^2+3n(n-1)/2=190
a=7のとき(2)からm^2+3n(n-1)/2=130
いずれも(右辺)≡2(mod4)
m^2≡0,1(mod4)なので3n(n-1)/2≡1,2(mod4)
k≡0,1,2,3(mod4)に対して順に3k≡0,3,2,1なので
n(n-1)/2≡2,3(mod4)
n(n-1)/2はn=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13に対して
0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78
(n≧14のとき3n(n-1)/2≧273＞250なので不適)
このうちmod4で2,3となるものは
n=3,4,5,6,11,12,13に対する
3,6,10,15,55,66,78
よってn=3,4,5,6,11,12,13に対して3n(n-1)/2は
9,18,30,45,165,198,234
250,190,130から引くと順に
250-3n(n-1)/2=241,232,220,205,85,52,16
190-3n(n-1)/2=181,172,160,145,25 (以降負)
130-3n(n-1)/2=121,112,100,85 (以降負)
このうち平方数になるのは16,25,121,100であり
(a,m,n)=(1,4,13),(5,5,11),(7,11,3),(7,10,5)
b=2m,c=2n-1により
(a,b,c)=(1,8,25),(5,10,21),(7,22,5),(7,20,9)
の4つが条件を満たす解。

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■51839 / ResNo.2)

　Re[2]: 2023

□投稿者/ よぎぼー一般人(2回)-(2022/04/10(Sun) 20:17:22)

ありがとうございました！

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■51826 / 親記事)

　複素フーリエ級数展開

□投稿者/ おはりすめんてん一般人(1回)-(2022/03/26(Sat) 15:58:40)

f（x）＝{0(-1≦x＜0）1（0≦x＜1）}
f（x＋2）＝f（x）
この関数を複素フーリエ級数展開するもんだいが分かりません、教えてください。
答えは、f（x）＝1/2-i/πΣ[n＝－∞から∞]1/(2n-1)×e^(2n-1)inxです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51828 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素フーリエ級数展開

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2022/03/27(Sun) 18:29:42)

一般に
g(x)=-1(-π≦x＜0)
g(x)=1(0＜x≦π)
なるg(x)をフーリエ展開すると
g(x)=(4/π)Σ[n=1～∞]{1/(2n-1)}sin(2n-1)x (A)
(これは教科書のフーリエ展開の項目で例として割りと書かれているものなので
ネットなどで調べてみて下さい。)
これを元にしてオイラーの公式を適用すれば導けます。
(但し(A)については自力で導くことが前提になりますが。)

(A)より
f(x)=(1/2)g(πx)+1/2
=1/2+(1/2)(4/π)Σ[n=1～∞]{1/(2n-1)}sin(2n-1)πx
=1/2-(i/2)(2/π)Σ[n=1～∞]{1/(2n-1)}{e^{i(2n-1)πx}-e^{-i(2n-1)πx}}
=1/2-(i/π){Σ[n=1～∞]{1/(2n-1)}{e^{i(2n-1)πx}+Σ[n=1～∞]{1/{-(2n-1)}}e^{i{-(2n-1)πx}}}
=1/2-(i/π){Σ[n=1～∞]{1/(2n-1)}e^{i(2n-1)πx}+Σ[n=-∞～0]{1/{(2n-1)}}{e^{i{(2n-1)πx}}}
((∵)二つ目のΣにおいて、-n+1を改めてnと置いた)
=1/2-(i/π){Σ[n=-∞～∞]{1/(2n-1)}e^{i(2n-1)πx}

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■51831 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素フーリエ級数展開

□投稿者/ おはりすめんてん一般人(2回)-(2022/03/29(Tue) 00:18:01)

ありがとうございます、解決しました！

解決済み!

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■51823 / 親記事)

　e^cos1

□投稿者/ アセアン一般人(1回)-(2022/03/20(Sun) 07:10:40)