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□投稿者/ ぁま 一般人(1回)-(2021/06/11(Fri) 09:51:08)
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変数 x の変域を N とする.また，命題「x は平方数である.」を A(x) と表し, 命題「x は奇数個 の約数をもつ.」を B(x) と表す.
(1) 命題「すべての平方数は、偶数個の約数をもつ.」を上記の設定を使って論理式にせよ.
(2) 論理式 ∀x(A(x) ∨ ¬B(x))
が表す命題と同じ意味のものを以下から 1 つ選んで丸印をつけよ。
a)「自然数は必ず、平方数であるか、偶数個の約数をもつかのどちらか一方を満たす.」
b)「平方数ではない数で、偶数個の約数をもつものはない.」
c)「平方数でないか, 奇数個の約数をもつかの少なくとも一方を満たす実数は存在しない.」
d)「平方数は必ず、偶数個の約数をもつ.」
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
| ■50834 / ResNo.1) |
Re[1]: 論理式
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□投稿者/ あま 一般人(1回)-(2021/06/11(Fri) 09:52:38)
| B(x)の前は¬です。
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| ■50835 / ResNo.2) |
Re[2]: 論理式
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□投稿者/ あま 一般人(2回)-(2021/06/11(Fri) 09:55:13)
| B(x)の前は否定記号です。
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| ■50837 / ResNo.3) |
Re[1]: 論理式
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□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2021/06/11(Fri) 23:12:38)
| N は自然数全体と解釈して回答します。
先ず、自然数 x に対して、以下は命題ではありません。
A(x) := {x は平方数である}
B(x) := {x は奇数個の約数をもつ}
命題とは数学的に真偽の定まる言明のことです。
A(x) や B(x) は、自然数 x の値が定まらない限り真偽が決まりませんので命題とは言えず、
これらは命題関数または条件と呼ばれます。
但し、以下は命題です。
A(1) := {1 は平方数である}・・・・・真である命題
A(2) := {2 は平方数である}・・・・・偽である命題
次に、自然数の約数の個数が偶数個か奇数個になる条件を調べます。
x = 1 の場合、約数は 1 の1個のみですので、約数は奇数個です。
x > 1 の場合、x は素因数を持ちます。
x の異なる素因数を p[1], p[2], ・・・, p[m] とし、各素因数の指数を e[1], e[2], ・・・, e[m] とします。
素因数分解は x = (p[1]^e[1])(p[2]^e[2])・・・(p[m]^e[m]) となります。
x の約数は (p[1]^f[1])(p[2]^f[2])・・・(p[m]^f[m]) という形になり、
k = 1, 2, ・・・, m として 0 ≦ f[k] ≦ e[k]、つまり f[k] は e[k]+1 通りの値をとりますので、
x の約数の個数は (e[1]+1)(e[2]+1)・・・(e[m]+1) となります。
x が平方数の場合、e[1], e[2], ・・・, e[m] は全て偶数であることが必要です。
つまり、(e[1]+1)(e[2]+1)・・・(e[m]+1) は奇数のみの積となり、約数は奇数個となります。
x が平方数でない場合、e[1], e[2], ・・・, e[m] は奇数を含みます。
つまり、(e[1]+1)(e[2]+1)・・・(e[m]+1) は偶数を含む積となり、約数は偶数個となります。
以上から、自然数 x に関して、
x が平方数であることと、x の約数が奇数個であることは同値である。
x が平方数でないことと、x の約数が偶数個であることは同値である。
・・・と言えます。
(1) すべての平方数は、偶数個の約数をもつ
「任意の自然数 x について、x が平方数ならば、x は偶数個の約数をもつ」と同義なので、
(∀x∈N){A(x) ⇒ (¬B(x))}
(2) (∀x∈N){A(x) ∨ (¬B(x))}
¬B(x) := {「x は奇数個の約数をもつ」の否定} := {x は偶数個の約数をもつ}
なので、上記論理式の解釈(?)は
「任意の自然数 x について、x は平方数である、または x は偶数個の約数をもつ」
となります。なので、同じ意味なのは a) ということになりますかね。
以下、蛇足です。
個人的には a) の「どちらか一方を満たす」という表現が引っかかります。
この問題の場合に限れば、如何なる自然数 x を選んでも A(x) と ¬B(x) の
どちらか一方だけが真となり、他方は偽になります。
両方同時に真になることも、両方同時に偽になることもありません。
なので、排他的論理和として考えも差し支えありません。
繰り返しますが、これは A(x) と ¬B(x) が排他的な条件だからです。
論理演算子「∨」は包括的論理和の意味であり、A(x) ∨ (¬B(x)) は
A(x) と ¬B(x) が両方同時に満たされても構わない訳です。
なので、解釈としては「少なくともどちらか一方を満たす」とする方がしっくりくる気がします。
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| ■50848 / ResNo.4) |
Re[2]: 論理式
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□投稿者/ あま 一般人(9回)-(2021/06/15(Tue) 16:37:32)
| なるほど、確かにそうですよね！
少なくともがなくては不自然だと思いましま！ありがとうございます。
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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25)