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□投稿者/ gunma 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 15:15:36)
 | x′1 =−5x1 +4x2,
x′2 =−9x1 +7x2 +te^t
解答をお願いします。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
| ■50376 / ResNo.1) |
Re[1]: 連立微分方程式
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□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2020/06/17(Wed) 10:31:59)
| u = u(t) = x1(t), v = v(t) = x2(t) とおきます。
u' = -5u+4v・・・・・(1)
v' = -9u+7v+t(e^t)・・・・・(2)
(1)より、
v = (1/4)(u'+5u)・・・・・(3)
v' = (1/4)(u''+5u')・・・・・(4)
(3)(4)を(2)に代入して、
(1/4)(u''+5u') = -9u+7(1/4)(u'+5u)+t(e^t)
⇒ u''+5u' = -36u+7(u'+5u)+4t(e^t)
⇒ u''-2u'+u = 4t(e^t)
⇒ (u''-u')-(u'-u) = 4t(e^t)
⇒ {(u'-u)(e^(-t))}' = 4t
⇒ (u'-u)(e^(-t)) = 2t^2+C (Cは積分定数)
⇒ {u(e^(-t))}' = 2t^2+C
⇒ u(e^(-t)) = (2/3)t^3+Ct+D (Dは積分定数)
⇒ u = (e^t){(2/3)t^3+Ct+D}
検算
u' = (e^t){(2/3)t^3+Ct+D}+(e^t){2t^2+C} = (e^t){(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}
u'' = (e^t){(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}+(e^t){2t^2+4t+C} = (e^t){(2/3)t^3+4t^2+(C+4)t+2C+D}
{u''-2u'+u}(e^(-t)) = {(2/3)t^3+Ct+D}-2{(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}+{(2/3)t^3+4t^2+(C+4)t+2C+D} = 4t
OK!
上記結果を(3)に代入して、
v = (1/4)(e^t){{(2/3)t^3+2t^2+Ct+C+D}+5{(2/3)t^3+Ct+D}}
= (1/4)(e^t){(12/3)t^3+2t^2+6Ct+C+6D}
= (e^t){t^3+(1/2)t^2+(3/2)Ct+(C+6D)/4}
検算
v' = (e^t){t^3+(1/2)t^2+(3/2)Ct+(C+6D)/4}+(e^t){3t^2+t+(3/2)C}
= (e^t){t^3+(7/2)t^2+(3C/2+1)t+(7C+6D)/4}
-9u+7v+t(e^t) = (e^t){-9{(2/3)t^3+Ct+D}+7{t^3+(1/2)t^2+(3/2)Ct+(C+6D)/4}+t}
= (e^t){-6t^3-9Ct-9D+7t^3+(7/2)t^2+(21/2)Ct+(7C+42D)/4+t}
= (e^t){t^3+(7/2)t^2+(3C/2+1)t+(7C+6D)/4}
OK!
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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25)
