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■52301 / 親記事)  平方数
□投稿者/ 鯖鮨 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 01:38:28)
    整数n,x,yが|x^2-(n^2+1)y^2|<2nを満たしているとき
    |x^2-(n^2+1)y^2|が平方数になるのは何故ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52410 / ResNo.1)  Re[1]: 平方数
□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2023/12/12(Tue) 16:47:06)
    x, yを整数として、f(x, y) = x^2-(n^2+1)y^2とおきます。
    y = 0の場合、f(x, 0) = x^2なので、|f(x, y)| < 2nという条件に関わらず題意は成立します。
    以下、y ≠ 0つまりy^2 ≧ 1とします。

    0 ≦ |f(x, y)| < 2nなので、nは正の整数です。

    |f(x, y)| < 2n
    ⇒ -2n < x^2-(n^2+1)y^2 < 2n
    ⇒ (n^2+1)y^2-2n < x^2 < (n^2+1)y^2+2n
    ⇒ (n^2+1)-2n/(y^2) < (x/y)^2 < (n^2+1)+2n/(y^2)
    ⇒ (n^2+1)-2n ≦ (n^2+1)-2n/(y^2) < (x/y)^2 < (n^2+1)+2n/(y^2) ≦ (n^2+1)+2n
    ⇒ (n-1)^2 < (x/y)^2 < (n+1)^2
    ⇒ n-1 < |x/y| < n+1
    ⇒ n-1 < |x|/|y| < n+1
    ⇒ (n-1)|y| < |x| < (n+1)|y|

    よって、整数rを|r| < |y|として、|x| = n|y|+rとおけます。
    また、f(±x, y) = f(|x|, y)です。

    f(x, y) = f(|x|, y) = f(n|y|+r, y)
    = (n|y|+r)^2-(n^2+1)y^2
    = ((ny)^2+2n|y|r+r^2)-(ny)^2-y^2
    = 2n|y|r+r^2-y^2
    = r^2+(nr)^2-((nr)^2-2n|y|r+y^2)
    = (n^2+1)r^2-(nr-|y|)^2
    = -f(nr-|y|, r)

    つまり、|f(x, y)| = |f(n|y|+r, y)| = |f(nr-|y|, r)|と変形できます。
    |r| < |y|だから、この変形を繰り返していけば、いずれr = 0に到達します。
    f(z, 0) = z^2なので、|f(x, y)| < 2nであれば|f(x, y)|は平方数と言えます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52292 / 親記事)  整数問題
□投稿者/ たま 一般人(1回)-(2023/09/02(Sat) 16:06:12)
    nは2以上の整数で1+2^n+4^nが素数であるとき、nの素因数を求めよ。

    教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52293 / ResNo.1)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2023/09/03(Sun) 00:55:51)
    n=2,3,4,5,6,7,…に対して
    2^n≡4,1,2,4,1,2,… (mod 7)
    4^n≡2,1,4,2,1,4,… (mod 7)
    なのでn≡1,2 (mod 3)のとき1+2^n+4^n≡0 (mod 7)
    n≡0 (mod 3)のとき1+2^n+4^n≡3 (mod 7)
    またn=3のとき1+2^n+4^n=73で素数
    従って1+2^n+4^nが素数のときnは素因数3を持つ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52275 / 親記事)  複素数と図形
□投稿者/ sato 一般人(1回)-(2023/08/24(Thu) 20:43:57)
    異なる複素数α、β、γが2α^2+β^2+γ^2-2αβ-2αγ=0を満たすとき、
    (1) (γ-α)/(β-α) の値を求めよ。
    (2) 複素数平面上で、3点A(α)、B(β)、C(γ)を頂点とする△ABCはどのような三角形か。
    (3)α、β、γがxの3次方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)の解であるとき、α、β、γおよびkの値を求めよ。

    という問題です。

    (3)が質問です。

    解答の最初では以下のようになっています。

     @からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。
    よって、方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。
     【@とは(1)の解答の中で、(γ-α)/(β-α)=±i とあります】

    質問1
     「@からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。」

     これは、少なくとも1つが虚数でなければ、iが出てこないからという理解でよいでしょうか。

    質問2
      「方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。」

     この説明で、例えば、「1つが虚数解で、2つが実数解」ということはありえないのでしょうか。

    以上2点よろしくお願いいたします。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52276 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数と図形
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2023/08/24(Thu) 22:05:51)
    質問1はその考え方でOKです。
    質問2に関して
    実数係数三次方程式の解は
    ・実数解1つのみ
    ・実数解2つのみ
    ・実数解3つのみ
    ・実数解1つと虚数解2つ
    の場合しかあり得ません。
    なぜなら、実数係数n次方程式において
    x=a+bi(b≠0)が解であるとき、x=a-biも必ず解になるからです。
    これにより、虚数解は必ず偶数個となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52230 / 親記事)  整数問題
□投稿者/ 葉 一般人(2回)-(2023/06/29(Thu) 00:05:39)
    整数 a,b,c が |a^2-b^2-2abc|<2c を満たしているとき、
    abc が偶数であることの証明を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52409 / ResNo.1)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2023/12/11(Mon) 20:44:17)
    2023/12/13(Wed) 17:27:27 編集(投稿者)

    0 ≦ |a^2-b^2-2abc| < 2cよりc > 0です。
    a = 0またはb = 0ならばabc = 0は偶数なので題意は成立します。
    以下a ≠ 0かつb ≠ 0とします。

    a = bと仮定すると、|a^2-b^2-2abc| = |-2(a^2)c| = 2(a^2)c < 2c
    より、a = 0となりますので、以下a ≠ bとします。

    a < 0かつb > 0ならば、-a > 0なので、
    |a^2-b^2-2abc| = |(-a)^2-b^2+2(-a)bc| = |b^2-(-a)^2-2(-a)bc| < 2c

    a > 0かつb < 0ならば、-b > 0なので、
    |a^2-b^2-2abc| = |a^2-(-b)^2+2a(-b)c| = |(-b)^2-a^2-2a(-b)c| < 2c

    a < 0かつb < 0ならば、-a > 0かつ-b > 0なので、
    |a^2-b^2-2abc| = |(-a)^2-(-b)^2-2(-a)(-b)c| < 2c

    いずれも、a > 0かつb > 0における|a^2-b^2-2abc| < 2cの形の不等式評価に帰着します。

    a < bと仮定すると、a^2-b^2 < 0かつ-2abc < 0と同符号になりますので、
    |a^2-b^2-2abc| = |a^2-b^2|+|-2abc| > 2abc > 2cと題意の条件を満たしません。
    # a > 0かつb > 0かつa ≠ bなので、ab > 1*2です。
    よって、a > bと言えます。

    -2c < a^2-b^2-2abc < 2c
    ⇒ b^2-2c < a^2-2abc < b^2+2c

    b^2 ≧ 1なので、
    ⇒ 1-2c/(b^2) < (a/b)^2-2(a/b)c < 1+2c/(b^2)
    ⇒ 1-2c < 1-2c/(b^2) < (a/b)^2-2(a/b)c < 1+2c/(b^2) < 1+2c
    ⇒ 1-2c+c^2 < (a/b)^2-2(a/b)c+c^2 < 1+2c+c^2
    ⇒ (c-1)^2 < (c-a/b)^2 < (c+1)^2
    ⇒ |c-1| < |c-a/b| < |c+1|・・・(3)
    # c-1 ≧ 0かつc+1 > 0です。

    以下で場合分けします。
    (1.1)c-a/b ≧ 0
    (1.2)c-a/b < 0

    (1.1)ならば(3)より、
    ⇒ c-1 < c-a/b < c+1
    ⇒ -1 < -a/b < 1
    ⇒ -1 < a/b < 1
    ⇒ 0 < a < b

    a > bが必要なので、(1.1)c-a/b ≧ 0の場合は存在しないと言えます。

    (1.2)ならば
    c-a/b < 0より、a-bc > 0或いはa > bcです。

    (3)より、
    ⇒ c-1 < a/b-c < c+1
    ⇒ -1 < a/b-2c = (a-2bc)/b < 1
    ⇒ -b < a-2bc < b
    ⇒ b(2c-1) < a < b(2c+1)

    rを整数で-b < r < bとして、a = 2bc+rとおきます。

    -2c < (2bc+r)^2-b^2-2(2bc+r)bc < 2c
    ⇒ -2c < (4(bc)^2+4bcr+r^2)-b^2-(4(bc)^2+2bcr) < 2c
    ⇒ -2c < 2bcr+r^2-b^2 < 2c
    ⇒ -2c < b^2-r^2-2bcr < 2c・・・(4)
    ⇒ 0 < b^2-r^2 < 2c(br+1)

    0 < 2c(br+1)より、0 < br+1となり、0 ≦ brから、r ≧ 0といえます。

    a > b > rですから、(4)は正の整数aがより小さい非負整数rに置き換わっただけです。
    r = 0ならa = 2bcなので題意の成立が示されたことになるので、
    (a, b)が(b, r)というより小さな正の整数の評価へ還元された訳です。

    この還元を繰り返すことでrは徐々に小さくなっていき、最終的には0になるはずです。
    a = 2bc+rですから、a ≡ r (mod 2)なので、abc ≡ bcr (mod 2)と言えます。

    a ≧ 2bc ≧ 2なら、(a, b)⇒(b, r)つまりa/2 ≧ b > rに置き換えられる。
    a > b > 0なので、2がaの最小値。a = 2を還元すると、
    a = 2 = 2bc+1 ≧ 2*1*1+1 = 3は不可能なので、r = 0つまりa = 2bc+0しかないので題意は成立する。

    r = 0であれば、a^2-b^2-2abc = r^2-b^2+2bcr = -b^2なので、
    |a^2-b^2+2abc| = |-b^2|と絶対値が平方数となるのも頷けますね。
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■52229 / 親記事)  位相数学
□投稿者/ 数学数学 一般人(1回)-(2023/06/28(Wed) 20:54:09)
    大学数学 位相数学の問題です。下の問題箱2の方のご協力よろしくお願い致します。答えて頂けたら何でもします。助けて下さい泣泣
1083×886 => 250×204

12AE4B8B-7D67-433F-904D-4C4C35C0BF59.jpeg
/163KB
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52231 / ResNo.1)  Re[1]: 位相数学
□投稿者/ ポテトフライ 一般人(3回)-(2023/06/29(Thu) 23:17:19)
    (1)
    ||f(x)||=1を示す。

    (2)
    像の定義からほとんど明らか。

    (3)
    D^n/S^{n-1}という商空間の定義がわからないので何とも言えませんが、まずは同相の定義に従って考えてみてください。
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