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■50351 / 親記事)  連立方程式
  
□投稿者/ 連立 一般人(1回)-(2020/05/30(Sat) 21:11:17)
    a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3-3abc=1
    をみたす実数a,b,cの求め方を教えて下さい。
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■50353 / ResNo.1)  Re[1]: 連立方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2020/05/31(Sun) 00:05:58)
    a+b+c=p, ab+bc+ca=qとおくと
    a^2+b^2+c^2=1 から p^2-2q=1
    a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}=1 から
    p(1-q)=1
    q=1-1/p
    p^2-2q=1に代入して
    p^2-2(1-1/p)=1
    p^2-3+2/p=0
    p^3-3p+2=0
    (p+2)(p-1)^2=0
    p=1,-2
    q=1-1/pから
    p=1のときq=0
    p=-2のときq=3/2

    (p,q)=(-2,3/2)のとき
    a+b+c=-2,ab+bc+ca=3/2
    このときa,b,cは三次方程式
    x^3+2x^2+(3/2)x+k=0
    の3解だが
    {x^3+2x^2+(3/2)x+k}'=3x^2+4x+3/2=3(x+2/3)^2+1/6>0から
    実数解一つ、虚数解二つなので不適。

    (p,q)=(1,0)のとき
    a+b+c=1,ab+bc+ca=0
    このときa,b,cは三次方程式
    x^3-x^2+k=0
    の3解。この三次方程式は0≦k≦4/27のときすべての解が実数解となる。
    この三次方程式を解いて、a,b,cは
    t+√(t(2-3t)), t-√(t(2-3t)), 1-2t (順不同)
    ただし1/6≦t≦1/2

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■50354 / ResNo.2)  Re[2]: 連立方程式
□投稿者/ 連立 一般人(2回)-(2020/05/31(Sun) 23:41:13)
    ありがとうございます。
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■50372 / ResNo.3)  Re[1]: 連立方程式
□投稿者/ dec 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 18:48:06)
    R^3に於ける 円 ?
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