数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 15]

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■50893 / 親記事)

　ベクトルの大きさ

□投稿者/ 掛け流し掛け流し一般人(1回)-(2021/07/07(Wed) 23:39:36)

平面上のベクトル a,bが

　　｜a＋２ｂ｜＝１、｜２a－b｜＝1

を満たしているとき、｜a－２ｂ｜の取り得る値の範囲を求めよ。

(答えは、1/5＜＝｜a－２ｂ｜＜＝7/5)

の解法を教えてください。

よろしくお願いします。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■50895 / ResNo.1)

　Re[1]: ベクトルの大きさ

□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2021/07/08(Thu) 13:44:08)

2021/07/08(Thu) 15:19:21 編集(投稿者)

xy座標でべクトルを原点 (0, 0) を始点とた終点の座標 (x, y) で表すことにすると、
|(x, y)| = √(x^2+y^2) です。

p, q, r, s を実数として、a = (p, q), b = (r, s) とします。

|a+2b| = |(p, q)+2(r, s)| = |(p+2r, q+2s)| = 1
⇒ (p+2r)^2+(q+2s)^2 = 1^2 ・・・・・(0)

上記より、ある実数 u が存在して
p+2r = cos(u) ・・・・・(1)
q+2s = sin(u) ・・・・・(2)
とおけます。

|2a-b| = |2(p, q)-(r, s)| = |(2p-r, 2q-s)| = 1
⇒ (2p-r)^2+(2q-s)^2 = 1^2

上記より、ある実数 v が存在して
2p-r = cos(v) ・・・・・(3)
2q-s = sin(v) ・・・・・(4)
とおけます。

(1)(3)より
(p+2r)+2(2p-r) = cos(u)+2cos(v)
⇒ p = (cos(u)+2cos(v))/5 ・・・・・(5)
⇒ r = 2(cos(u)+2cos(v))/5-cos(v) = (2cos(u)-cos(v))/5 ・・・・・(6)

(2)(4)より
(q+2s)+2(2q-s) = sin(u)+2sin(v)
⇒ q = (sin(u)+2sin(v))/5 ・・・・・(7)
⇒ s = 2(sin(u)+2sin(v))/5-sin(v) = (2sin(u)-sin(v))/5 ・・・・・(8)

|a-2b| = |(p, q)-2(r, s)| = |(p-2r, q-2s)|
⇒ |a-2b|^2 = (p-2r)^2+(q-2s)^2 = (p+2r)^2+(q+2s)^2-8pr-8qs
(0)(5)(6)(7)(8)より、
⇒ |a-2b|^2 = 1-8((cos(u)+2cos(v))/5)((2cos(u)-cos(v))/5)-8((sin(u)+2sin(v))/5)((2sin(u)-sin(v))/5)
= 1-(8/25)((cos(u)+2cos(v))(2cos(u)-cos(v))+(sin(u)+2sin(v))(2sin(u)-sin(v)))
= 1-(8/25)(2cos(u)^2+3cos(u)cos(v)-2cos(v)^2+2sin(u)^2+3sin(u)sin(v)-2sin(v)^2)
= 1-(8/25)(2(cos(u)^2+sin(u)^2)+3(cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v))-2(cos(v)^2+sin(v)^2))
= 1-(8/25)(2+3cos(u-v)-2)
= 1-(24/25)cos(u-v)

-1 ≦ cos(u-v) ≦ 1 ですから
1-(24/25)(1) ≦ |a-2b|^2 ≦ 1-(24/25)(-1)
⇒ 1/25 ≦ |a-2b|^2 ≦ 49/25

|a-2b| ≧ 0 だから、1/5 ≦ |a-2b| ≦ 7/5 となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50897 / ResNo.2)

　Re[2]: ベクトルの大きさ

□投稿者/ 掛け流し掛け流し一般人(2回)-(2021/07/09(Fri) 02:30:10)

分かりずらいよ。もっと短く説明して

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51789 / ResNo.3)

　Re[1]: ベクトルの大きさ

□投稿者/ nacky 一般人(2回)-(2021/12/22(Wed) 10:08:19)

x=a+2b, y=2a-b とおくと条件より |x|=|y|=1 であり
a=(x+2y)/5, b=(2x-y)/5
となります.
よって
a-2b=(-3x+4y)/5
となるので問題は
「|x|=|y|=1 のとき |(-3x+4y)/5| の範囲を求めよ」
と言い換えることができます. これを解きましょう.

まず

|(-3x+4y)/5|=|-3x+4y|/5

なので |-3x+4y| の範囲を調べます.
二つのベクトル u,v の内積を単に積の様に uv と書くことにすると

|-3x+4y|^2=(-3x+4y)(-3x+4y)
=9|x|^2-24xy+16|y|^2
=25-24xy　　　(|x|=|y|=1 を使った)

内積の定義より

xy=|x||y|cosθ=cosθ

となり

-1<=xy<=1

となることがわかるので

1<=|-3x+4y|^2<=49.

|-3x+4y| は非負の数なので

1<=|-3x+4y|<=7

したがって

1/5<=|(-3x+4y)/5|<=7/5

である.

以上から答えのとおり

1/5<=|a-2b|<=7/5

が得られました.

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■50792 / 親記事)

　和の求め方がわかりません。

□投稿者/ さんご一般人(1回)-(2021/05/18(Tue) 19:50:47)

$2$ \sum^{\infty}_{k=0} (\frac{a}{1+a})^k$ 　の求め方を知りたいです。
答えは1+aになるそうですが、なぜそうなるのかがわかりません。

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■50793 / ResNo.1)

　Re[1]: 和の求め方がわかりません。

□投稿者/ らすかる付き人(51回)-(2021/05/19(Wed) 00:02:06)

a＞0ならば
無限級数の公式Σ[k=0～∞]r^k=1/(1-r)に
r=a/(1+a)を代入すれば求まります。

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■50794 / ResNo.2)

　Re[2]: 和の求め方がわかりません。

□投稿者/ さんご一般人(2回)-(2021/05/19(Wed) 09:55:29)

理解できました！ありがとうございます！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50800 / ResNo.3)

　Re[3]: 和の求め方がわかりません。

□投稿者/ さんご一般人(3回)-(2021/05/22(Sat) 13:47:01)

解決しました

解決済み!

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■50783 / 親記事)

　極限

□投稿者/ ルーシー一般人(1回)-(2021/05/17(Mon) 15:19:31)

nは自然数で
lim[x→1]{n/(x^n-1)-1/(x-1)}
を教えて下さい

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■50784 / ResNo.1)

　Re[1]: 極限

□投稿者/ X 一般人(6回)-(2021/05/17(Mon) 17:18:39)

(i)n=1のとき
(与式)=0
(ii)n≧2のとき
(与式)=lim[x→1]{n(x-1)-(x^n-1)}/{(x-1)(x^n-1)}
=lim[x→1]{n-nx^(n-1)}/{(x^n-1)+n(x-1)x^(n-1)}
=lim[x→1]{-n(n-1)x^(n-2)}/{2nx^(n-1)+n(n-1)(x-1)x^(n-2)}
=-(n-1)/2
((∵)ロピタルの定理)
これはn=1のときも成立

まとめて
(与式)=-(n-1)/2

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■50788 / ResNo.2)

　Re[2]: 極限

□投稿者/ X 一般人(10回)-(2021/05/17(Mon) 17:29:53)

別解)
(与式)=lim[x→1]{n-Σ[k=0～n-1]x^k}/(x^n-1)
∴t=x^nと置くと
(与式)=lim[x→1]{n-Σ[k=0～n-1]t^(k/n)}/(t-1)
ここで
f(t)=Σ[k=0～n-1]t^(k/n)
と置くと
f'(t)=Σ[k=1～n-1](k/n)t^(k/n-1)
∴微分係数の定義により
(与式)=-f'(1)
=-Σ[k=1～n-1]k/n
=-(1/n)Σ[k=1～n-1]k
=-(1/n)・(1/2)n(n-1)
=-(n-1)/2

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■50789 / ResNo.3)

　Re[3]: 極限

□投稿者/ ルーシー一般人(2回)-(2021/05/18(Tue) 01:09:00)

ありがとうございます！！

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■50682 / 親記事)

　三角形の角

□投稿者/ 磯村一般人(1回)-(2021/04/02(Fri) 08:43:11)

三角形ABCにおいて、AB=2,BC=1,CA=√2とし、∠A=α,∠B=βとする。
正の整数m,nがmα+nβ=πを満たすとき、mとnを全て求めよ。

m=2,n=3は見つけられたのですが、これ以外にあるのかこれだけなのかがよく分かりませんでした。
教えてください。

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■50683 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角形の角

□投稿者/ らすかる一般人(22回)-(2021/04/02(Fri) 09:59:41)

cosα=5√2/8, sinα=√14/8
cos2α=9/16, sin2α=5√7/16
cos3α=5√2/64, sin3α=17√14/64
cos4α=-47/128, sin4α=45√7/128
cos5α=-275√2/512, sin5α=89√14/512
cos6α=-999/1024, sin6α=85√7/1024
sin7α＜0

cosβ=3/4, sinβ=√7/4
cos2β=1/8, sin2β=3√7/8
cos3β=-9/16, sin3β=5√7/16
cos4β=-31/32, sin4β=3√7/32
sin5β＜0

mα+nβ=πのとき
mα=π-nβ
sin(mα)=sin(π-nβ)=sin(nβ)
cos(mα)=cos(π-nβ)=-cos(nβ)
でなければならないので、m=2,n=3のみ。

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■50685 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角形の角

□投稿者/ 磯村一般人(2回)-(2021/04/02(Fri) 11:01:09)

有り難うございます。
やはりしっかり計算して考える必要がありそうですね。。。

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■50686 / ResNo.3)

　Re[3]: 三角形の角

□投稿者/ らすかる一般人(23回)-(2021/04/02(Fri) 21:50:16)

cosα=5√2/8, sinα=√14/8 から tanα=√7/5
cosβ=3/4, sinβ=√7/4 から tanβ=√7/3
t(x)=tanx/√7とおくとt(a+b)={t(a)+t(b)}/{1-7t(a)t(b)}
t(α)=1/5, t(2α)=5/9, t(3α)=17/5, t(4α)=-45/47,
t(5α)=-89/275, t(6α)=-85/999, t(7α)＞0
t(β)=1/3, t(2β)=3, t(3β)=-5/9, t(4β)=-3/31, t(5β)＞0
なので
tan(mα)+tan(nβ)=0すなわちt(mα)+t(nβ)=0となるのはm=2,n=3のみ

のようにすると計算がいくぶん簡単になりますが、これでも面倒ですね。

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■50679 / 親記事)

　コラッツ予想について

□投稿者/ 成清　愼＠一般人(1回)-(2021/03/27(Sat) 14:47:33)
http://koubeichizoku.atwebpages.com/colattz20211.pdf

標記につきましては上記URLに拙論を記載いたしました。諸兄におかれましてはご多忙中恐縮ながらよろしくご査収の上、ご高配ご指導賜れば幸甚に存じます

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■50680 / ResNo.1)

　イヴ・サンローラン

□投稿者/ vogcopy 一般人(1回)-(2021/03/30(Tue) 15:17:41)

ファッションは消えゆくが、スタイルは永遠に残る」。比類なきデザイナー、イヴ・サンローランは、そう見事に表現した。vogcopy /vogcopy.net/一生使える宝石箱を作るなら、決して流行遅れにならないものを覚えておくことが大事。//vogcopy.net/brand-338-c0.html　イヴ・サンローランコピー /www.eklablog.com/profile/32969224

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■50689 / ResNo.2)

　Re[1]: コラッツ予想について

□投稿者/ 極限一般人(3回)-(2021/04/03(Sat) 03:11:40)

間違っています。

間違いの本質的なところは、最後の「極限において」という部分です。
コラッツ予想の主張は「有限回の操作によって1にたどり着く」ですので、件の極限操作を行った段階でこの主張から外れたものを相手にしてしまっていることになります。

次に、この誤りにご自身が気づきにくくしている箇所があります。
それが"Operation transposition of Collatz"中で、S, D_0を再定義している箇所です。
数学の証明において一度定義した対象を「再定義」することは、読み手（引いては自分自身）を混乱させる以上の効果を持ちません。
実際ここでも「再定義」などせずに集合列 (S^0, D_0^0), (S^1, D_0^1), (S^2, D_0^2), (S^3, D_0^3), ... を用意して、「(S^n, D_0^n)に"Operation transposition of Collatz"を一度適用した結果を(S^(n+1), D_0^(n+1))とする」などとすれば同じことを混乱なく記述できます。

そして一旦こう書いてしまうと、最初に述べた誤りが自然と浮き上がってくるのが見て取れると思います。

有限な整数n（単に自然数と言っても同じことですが）に対して (S^n, D_0^n) が (φ, N^1) になっていると主張できるのならともかく、nに対して極限を取った (S^∞, D_0^∞) とでも書くべきものが (φ, N^1) であったとしてもそれは有限回の操作で1になることを主張するコラッツ予想を「証明」するものではありません。

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■51957 / ResNo.3)

　Re[2]: コラッツ予想について

□投稿者/ 成清　愼＠一般人(1回)-(2022/09/20(Tue) 21:27:51)

貴重なご意見感謝いたします。ご指摘に従って「極限」という記述の部分を削除し改訂版を下記ＵＲＬにアップいたしました。「再定義」のほうは使用している集合
中に余分なものを残したくないのでご破算で願いましてはという意味で残させていただきました。何卒ご容赦願いたく。
dongram.web.fc2.com/collatz20221.pdf

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