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■50206 / 親記事)  リーマン積分可能性
  
□投稿者/ もけ 一般人(1回)-(2020/01/22(Wed) 12:38:48)
    一変数関数f(x)とg(y)がそれぞれ[a,b]と[c,d]でリーマン積分可能なとき、二変数関数f(x)g(y)が[a,b]×[c,d]で積分可能で、その値がf(x)とg(y)をそれぞれリーマン積分したものの積に等しいことを示せ。

    この問題がわかりません。リーマン和から考えてみたのですが、二重極限をどうするかなど、完全に手が止まってます。リーマン和から話を進めるやり方で教えてください
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■50207 / ResNo.1)  Re[1]: リーマン積分可能性
□投稿者/ m 一般人(1回)-(2020/01/23(Thu) 18:36:07)
    とし、の分割とその代表点にたいし関数のリーマン和をとかく。


    が代表点の取り方に依存せず成り立つことを示す。


    分割とその代表点を固定する。
    記号の確認:


    またでAの体積を表す。(たとえば


    ちゃんと書くと長いので要点ぽいところだけ書きます。

    は有界よりが成り立つ。

    新たに代表点
    の分割の新しい代表元
    の分割の新しい代表元を使って
    で定めます。


    このとき次が成り立ちます。

    1.

    2.

    (ただしは過剰和、は不足和。)

    1のヒント:
    代表点がx, yでそろっている(格子点のようになっている)ので二重のΣがΣの積に分解できます。

    2のヒント:



    1, 2が示せれば2つを組み合わせて証明完了です。
    わからないことがあれば聞いてください。

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■50208 / ResNo.2)  Re[2]: リーマン積分可能性
□投稿者/ もけ 一般人(2回)-(2020/01/23(Thu) 22:29:27)
    ご返事ありがとうございます。後半の方はなんとか自分で理解できそうです。ただ、一番最初のf,gの有界について、これはリーマン積分可能⇒有界ということでしょうか?これは必ず成立するのでしょうか?
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■50209 / ResNo.3)  Re[3]: リーマン積分可能性
□投稿者/ もけ 一般人(3回)-(2020/01/24(Fri) 00:07:34)
    すみません、勘違いしていました。解決しました。本当にありがとうございます!
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