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■50714 / 親記事)  √の問題
□投稿者/ 許して 一般人(1回)-(2021/04/19(Mon) 07:33:31)
    2021/04/19(Mon) 08:46:37 編集(投稿者)

    (1) a>0, b>0 のとき √a+2√b>√(a+4b) を示せ。
    (2) √14-√10>√15-√11 を示せ。

    という問題なのですが、(2)は(1)を使うとうまく解けたりするのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50715 / ResNo.1)  Re[1]: √の問題
□投稿者/ らすかる 一般人(33回)-(2021/04/19(Mon) 14:17:40)
    (2)には(1)が使えない気がします。

    (1)
    √a+2√b=√{(√a+2√b)^2}
    =√{a+4b+4√(ab)}>√(a+4b)

    (2)
    (√14+√11)^2=25+2√154>25+2√150=(√15+√10)^2から
    √14+√11>√15+√10なので
    √14-√10>√15-√11

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50717 / ResNo.2)  Re[2]: √の問題
□投稿者/ 許して 一般人(2回)-(2021/04/19(Mon) 21:33:32)
    ありがとうこざいます
解決済み!
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■50704 / 親記事)  tanと自然数
□投稿者/ こうさく 一般人(1回)-(2021/04/16(Fri) 01:25:26)
    自然数m,nは、
    tanα=1/m,tanβ=1/n
    を満たす角度α,βをとると
    tan(α+β)が整数になるという。
    m,nを求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50705 / ResNo.1)  Re[1]: tanと自然数
□投稿者/ らすかる 一般人(29回)-(2021/04/16(Fri) 06:46:37)
    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
    =(1/m+1/n)/{1-(1/m)(1/n)}
    =(m+n)/(mn-1)
    少なくとも(分母)≦(分子)でなければならないので
    mn-1≦m+n
    mn-m-n-1≦0
    mn-m-n+1≦2
    (m-1)(n-1)≦2
    m=1のときtan(α+β)=(n+1)/(n-1)=1+2/(n-1)となるのでn=2,3
    n=1のときも同様にm=2,3
    m>1かつn>1のとき、(m-1)(n-1)≦2を満たす自然数(m,n)の組は
    (2,2),(2,3),(3,2)だが、このうち(2,2)は(m+n)/(mn-1)が整数とならず不適。
    他はすべて条件を満たすので、求める答えは
    (m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

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■50706 / ResNo.2)  Re[2]: tanと自然数
□投稿者/ こうさく 一般人(2回)-(2021/04/16(Fri) 08:38:01)
    ありがとうございます!!
解決済み!
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■50693 / 親記事)  α^52
□投稿者/ 黒板アート 一般人(1回)-(2021/04/03(Sat) 13:50:51)
    α^3-2α^2+4α-4=0
    のとき
    α^52=p+qα
    をみたす整数p,qが存在することを示せ。(和訳)

    整数論の本を読んでいたら上記演習問題があったのですが、これは手計算で示せるものなのでしょうか?
    単に存在することを示すだけなので、次数を下げていく以外の方法があるのか!?などと思ってみたり…
    どうなんでしょう?教えていただけると幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50694 / ResNo.1)  Re[1]: α^52
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2021/04/03(Sat) 17:29:37)
    次数下げとあまり変わりませんが、工夫すると
    (α^3-2α^2+4α-4)(α+2)=α^4+4α-8=0 から α^4=-4α+8
    (α^4+4α-8)α^2-4(α^3-2α^2+4α-4)=α^6-16α+16=0 から α^6=16α-16=16(α-1)
    α^13=α(α^6)^2=256α(α-1)^2=256{(α^3-2α^2+4α-4)-(3α-4)}=256(-3α+4)
    (-3α+4)^4=81α^4-432α^3+864α^2-768α+256
    =81(-4α+8)-432(α^3-2α^2+4α-4)+960α-1472
    =636α-824
    なので
    α^52=(α^13)^4=256^4・(-3α+4)^4=2^32・(636α-824)=2^34・(159α-206)
    となりp=-103・2^35、q=159・2^34でα^52=p+qαが成り立つ。

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■50703 / ResNo.2)  Re[2]: α^52
□投稿者/ 黒板アート 一般人(2回)-(2021/04/08(Thu) 17:48:13)
    有難うございます。
    私にも・・・辛うじて計算できる方法です。
    α^4を見つけるのが肝要ですね。
    工夫の偉大さを感じました。
解決済み!
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■50691 / 親記事)  四角形の辺の長さ
□投稿者/ sage 一般人(4回)-(2021/04/03(Sat) 12:19:15)
    調べたらどこかに絶対載ってそうな気がするんですが
    検索が追いつかず・・・教えてください

    a,b,c,dは実数で、以下の二つの条件を満たしている
    ・a,b,c,dは四角形の四辺の長さである
    ・a≧b≧c≧d
    a,b,c,dをこの条件を満たしながら変化させたときの
    min{a/b,b/c,c/d}
    の取り得る値の範囲はどうなるか?

    四角形から適当にふたつの辺を選んで
    長いのを短いので割ったときの最小値
    はどこまで大きくなるか
    ということなのですが・・・
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50692 / ResNo.1)  Re[1]: 四角形の辺の長さ
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2021/04/03(Sat) 12:35:21)
    1≦min{a/b,b/c,c/d}<c
    ただしcはc^3=c^2+c+1を満たす値で
    c={(19+3√33)^(1/3)+(19-3√33)^(1/3)+1}/3=1.83928675…
    となると思います。
    最小値は正方形の場合で明らか
    最大値は(最大値をとることはありませんが)例えば
    A(0,0),B(1,ε),C(c+1,ε),D(c^2+c+1,0)
    のように最大辺のすぐ近くに他の3辺が並ぶ場合です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50695 / ResNo.2)  Re[2]: 四角形の辺の長さ
□投稿者/ sage 一般人(5回)-(2021/04/03(Sat) 21:05:13)
    確認できました!
    有難うございました!
解決済み!
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■50684 / 親記事)  循環小数
□投稿者/ 混合 一般人(1回)-(2021/04/02(Fri) 11:00:49)
    nを自然数とすると
    1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)
    は混合循環小数であることを示せ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50690 / ResNo.1)  Re[1]: 循環小数
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2021/04/03(Sat) 06:28:03)
    有理数のうち
    分母が2,5以外の素因数を持たない→有限小数
    分母が2,5以外の素因数を持つ→無限小数
    そして有理数の無限小数のうち
    分母が素因数2,5を含まない→純循環小数
    分母が素因数2,5を含む→混循環小数
    です。
    与式はn+1,n+2,n+3のうちどれか一つが3の倍数、
    また偶数も含むことから、
    「2,5以外の素因数3を含み、素因数2も含む」
    となりますので、混循環小数ということになります。

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■50696 / ResNo.2)  Re[2]: 循環小数
□投稿者/ 混合 一般人(2回)-(2021/04/04(Sun) 13:47:14)
    とても分かりやすい説明ありがとうございました。
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