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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25) |

円を30度回転させた場合の結果が見たい。(17) |

確率における情報(17) |

プログラミング言語BASIC言語について。(14) |

素数(6) |

順列組合せ～区別するものしないもの(6) |

三角形の辺の長さ(6) |

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フェルマーの最終定理の証明(6) |

複数の点によって構成される多角形を相互の距離情報から類推する方法(6) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

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複素数の関数(5) |

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素数(3) |

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極限(3) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

確率(2) |

速度(2) |

質問(2) |

■50191 / 親記事)

　高校の範囲での証明

□投稿者/ 窓々一般人(1回)-(2019/12/02(Mon) 23:42:14)

nは自然数、xは正の数のとき
(x^n/n!)* e^(x/(n+1)) +Σ[k=0,n-1] x^k/k! ≦ e^x　
の証明って高校ではどうやるんでしたっけ？

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■50192 / ResNo.1)

　Re[1]: 高校の範囲での証明

□投稿者/ m 一般人(2回)-(2019/12/03(Tue) 12:18:14)

2019/12/03(Tue) 12:23:08 編集(投稿者)
2019/12/03(Tue) 12:22:03 編集(投稿者)

(★ $2$1+x \leq e^x \ (x \geq 0)$ は証明略。)

$2$f_n (x) =$ (左辺) - (右辺)
とおき $2$f_n(x) \leq 0$ を帰納法で示す。

$2$n-1$ で成り立つと仮定し $2$n$ で成り立つことを示す。

$2$f_n(0)=0$ だから $2$f_n' (x) \leq 0 \ (x \geq 0)$ を示せばok
$2$f_n' (x) = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} (1+\frac{x}{n(n+1)}) e^{x/(n+1)} + \sum_{k=0}^{n-2} \frac{x^k}{k!}-e^x$
★より $2$1+\frac{x}{n(n+1)} \leq e^{x/(n(n+1))}$ だから
$2$f_n' (x) \leq \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} e^{x/(n(n+1))} e^{x/(n+1)} + \sum_{k=0}^{n-2} \frac{x^k}{k!}-e^x$
$2$\frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}$ より
(上の右辺) $2$\leq f_{n-1} (x)$
帰納法の仮定により $2$f_n'(x) \leq 0$

だいぶ省略してるので補完してください。

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■50193 / ResNo.2)

　Re[2]: 高校の範囲での証明

□投稿者/ 窓々一般人(2回)-(2019/12/05(Thu) 12:43:35)

有り難うございます。
微分したものと帰納法でけっこう複雑だったのですね。

解決済み!

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■50177 / 親記事)

　合同式の計算

□投稿者/ 画宇巣一般人(17回)-(2019/11/20(Wed) 17:16:09)

[4] 55x + 23y = 1
　　55x = -23y + 1
　　55x≡1 (mod 23)
　　55 = 23*2 + 9
　　55≡9 (mod 23)
　　55x≡9x (mod 23)
　　9x≡1 (mod 23)
　　27x≡3 (mod 23)
　　23x≡0 (mod 23)
　　4x≡3 (mod 23)
　　24x≡18 (mod 23)
　ここから、どうして

　　x≡18 (mod 23)

とできるのですか？

　　x = 23k + 18
　　23y = 1 - 55x = 1 - 55(23k+18) = -1265k -989
　　y = - 55k - 43

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■50178 / ResNo.1)

　Re[1]: 合同式の計算

□投稿者/ らすかる付き人(59回)-(2019/11/20(Wed) 18:05:45)

2行上の23x≡0を引けばそうなりますね。

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■50179 / ResNo.2)

　Re[2]: 合同式の計算

□投稿者/ 画宇巣一般人(18回)-(2019/11/20(Wed) 18:23:31)

　あちゃー！　そうですね。
　いつも回答ありがとうございます。

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■50153 / 親記事)

　2変数関数の極値条件

□投稿者/ 画宇巣一般人(14回)-(2019/11/10(Sun) 09:48:13)

　以下の画像の説明で
　　h, k を 0 と異なる絶対値の（小さな）任意の数
とあります。これは
　　|h|, |k| が微小
であることを意味していると思いますが、h, k が微小ならば|h|, |k| が微小なのは当たり前なので、ことさら絶対値を考えなければならない理由がわかりません。

1200×849 => 250×176

1573346893.jpg/162KB

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■50154 / ResNo.1)

　Re[1]: 2変数関数の極値条件

□投稿者/ らすかる付き人(55回)-(2019/11/10(Sun) 10:13:15)

もし
h,kを0と異なる小さな任意の数
と書いたら
h=-1億とか-10^100とか
そういう値を考えることになってしまいます。
「0に近い」という条件を言うためには
「絶対値の小さい」というのが最も簡潔です。

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■50155 / ResNo.2)

　Re[2]: 2変数関数の極値条件

□投稿者/ 画宇巣一般人(15回)-(2019/11/10(Sun) 10:54:34)

> h,kを0と異なる小さな任意の数
> と書いたら
> h=-1億とか-10^100とか
> そういう値を考えることになってしまいます。
　ああ！　そうですね（笑）。いつもありがとうございます。

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■52473 / 親記事)

　相関係数と共分散

□投稿者/ robo 一般人(5回)-(2024/02/22(Thu) 08:25:39)

3つの試験科目の得点を標準化したものをそれぞれX1、X2、X3とする。
X1とX2の相関係数をρ12、X2とX3の相関係数をρ23、X3とX1の相関係数をρ31とする。
標準化しているので、V[X1]=V[X2}=V[X3}=1である。
XiとXjの相関係数は共分散と等しくなる。
cov[X1,(X1+X2+X3)/3]=(1+ρ12+ρ31)/3ですか？X1とX1/3の共分散は1/3ですか？

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■52474 / ResNo.1)

　Re[1]: 相関係数と共分散

□投稿者/ ポテトフライ一般人(1回)-(2024/02/24(Sat) 19:17:01)

＞cov[X1,(X1+X2+X3)/3]=(1+ρ12+ρ31)/3ですか？
はい、そうです。
まずE[X_i]=0と期待値の線形性からE[(X_1+X_2+X_3)/3]=(E[X_1]+E[X_2]+E[X_3])/3=0
またX_iは標準化されているのでV[X_i]=E[(X_i-E[X_i])^2]=E[X_i^2]=1
さらにCov(X_i,X_j)=E[(X_i-E[X_i])*(X_j-E[X_j])]=E[X_i,X_j]
＞XiとXjの相関係数は共分散と等しくなる。
よって
Cov(X_1,(X_1+X_2+X_3)/3)
=E[(X_1-E[X_1])*( (X_1+X_2+X_3)/3-E[(X_1+X_2+X_3)/3])]
=E[X_1*(X_1+X_2+X_3)/3]
=(E[X_1^2]+E[X_1*X_2]+E[X_1*X_3])/3
=(V[X_1]+Cov(X_1,X_2)+Cov(X_1,X_3))/3
=(1+ρ_{12}+ρ_{13})/3

＞X1とX1/3の共分散は1/3ですか？
はい、そうです。
Cov（X_1、X_1/3）=E[X_1*(X_1/3)]=E[X_1^2]/3=V[X_1]/3=1/3

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■52455 / 親記事)

　確率の問題が分かりません　助けてください

□投稿者/ 一般人一般人(1回)-(2024/01/16(Tue) 19:40:41)

確率の問題で分からない問題があったので、詳しい方がいたら教えてくださると助かります。

英文の投稿短編小説を検索すると、その短編小説に含まれる文法の誤りの数を X
個所とし、X を確率変数とすると、X は平均 7 個所の誤りがある。確率変数 X は平均
7 のポアソン分布に従うと仮定するとき、以下の問題に答えなさい。
なお、回答は数値まで求めなくてよく求める計算式で表現できていればよく例えば、途中
に𝑒
𝑥という形式が出てきた場合はそのままでよい。
(1) 短編小説を無作為に選ぶとき、この短編小説に含まれる文法の誤りが 1 個所である確
率を求めなさい。またこの
(2) 短編小説に含まれる文法の誤りが、少なくとも 2 個所ある確率を求めなさい。
(3) X の分散の値を求めよ。

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■52460 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率の問題が分かりません　助けてください

□投稿者/ ポテトフライ一般人(2回)-(2024/01/19(Fri) 10:57:22)

定数λのポアソン分布をPo(λ)と書くと、本問ではX~Po(λ)である。
このとき、E[X]=Var[X]=λであり、条件からλ=7である。
(1)
P(X=1)を計算

(2)
余事象を考えて
1-PX=0)-P(X=1)
を計算すればよい。

(3)
上述の通りVar[X]=7
(多分出題者の意図は分散の定義式E[(X-E[X])^2]にしたがって計算せよというものだと思うが)

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