数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 29]

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■51907 / 親記事)

　三角形の基本的な性質

□投稿者/ Visschers 一般人(1回)-(2022/06/30(Thu) 15:15:07)

△ABCは辺の長さがAB>BC、AC>BCを満たしているものとする。
この△ABCの内部に点Pをとると、
PA+PB+PC<AB+AC
であることの証明を教えてください。

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■51909 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角形の基本的な性質

□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2022/06/30(Thu) 22:09:56)

Pを通りBCに平行な直線とAB,ACとの交点をD,Eとすると
△ADE∽△ABCなのでAD＞DE,AE＞DE
∠APD≧90°のときAD＞APなのでAP+DE＜AD+AE
∠APD＜90°のときAE＞APなのでAP+DE＜AE+AD
従っていずれの場合もAP+DE＜AD+AE … (1)
よって
PA+PB+PC＜PA+(BD+DP)+(CE+EP)
=PA+BD+CE+(DP+EP)
=PA+BD+CE+DE
=BD+CE+(AP+DE)
＜BD+CE+(AD+AE)　（∵(1)より）
=(AD+BD)+(AE+CE)
=AB+AC

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■51915 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角形の基本的な性質

□投稿者/ Visschers 一般人(2回)-(2022/07/02(Sat) 08:42:02)

なるほど～！
こんなに綺麗に示せるんですね。

ありがとうございました。

解決済み!

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■51895 / 親記事)

　連続関数と有理数と代数的無理数と超越数

□投稿者/ 福澤一般人(1回)-(2022/06/24(Fri) 22:03:09)

f(x)は実数から実数への連続関数で
任意の有理数xに対してf(x)は有理数、
任意の無理数xに対してf(x)は無理数、
を満たすようなものとします。

このようなf(x)のうち、
少なくとも1つの代数的無理数αに対してf(α)が超越数となる
ようなものの例を何か教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51896 / ResNo.1)

　Re[1]: 連続関数と有理数と代数的無理数と超越数

□投稿者/ マシュマロ一般人(18回)-(2022/06/25(Sat) 02:28:45)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

こんにちは＾＾

これは面白い問題ですね。
たとえばこんな関数はどうでしょうか。

ｆ（√２）＝ｅとし、ｘ≦０およびｘ≧４ではｆ（ｘ）＝ｘとします。

以下、残りの部分を定義していきます。まず、

①　ｍ／２＾ｋ（ｍ，ｋは非負整数）

の形の数のうち√２を超えない最大のものをＰ（ｋ）とし、
各Ｐ（ｋ）のうち重複するものを除いてｎ番目に小さい数をＡ（ｎ）とおきます。

また①の形の数のうち√２より大きい最小の数をＱ（ｋ）とし、
そのうち重複するものを除いてｎ番目に大きい数をＢ（ｎ）とおきます。

ｅについても同様に、①の形の数のうちｅを超えない最大の数をＲ（ｋ）とし、
そのうち重複するものを除いてｎ番目に小さい数をＣ（ｎ）とおきます。

さらに、①の形の数のうちｅより大きい最小の数をＳ（ｋ）とし、
そのうち重複するものを除いてｎ番目に大きい数をＤ（ｎ）とします。

区間［０，Ａ（１）］においてはｆをｆ（０）＝０，ｆ（Ａ（１））＝Ｃ（１），となる１次関数とし、
［Ａ（１），Ａ（２）］においてはｆ（Ａ（１））＝Ｃ（１），ｆ（Ａ（２））＝Ｃ（２）となる１次関数とします。

以下同様に、［Ａ（ｒ），Ａ（ｒ＋１）］においては
ｆ（Ａ（ｒ））＝Ｃ（ｒ），ｆ（Ａ（ｒ＋１））＝Ｃ（ｒ＋１）となる１次関数として定義していきます。

また区間［Ｂ（１），４］においてはｆ（Ｂ（１））＝Ｄ（１），ｆ（４）＝４となる１次関数とし、
［Ｂ（２），Ｂ（１）］においてはｆ（Ｂ（２））＝Ｄ（２），ｆ（Ｂ（１））＝Ｄ（１）となる１次関数とします。

以下同様に、［Ｂ（ｒ＋１），Ｂ（ｒ）］においては
ｆ（Ｂ（ｒ＋１））＝Ｄ（ｒ＋１），ｆ（Ｂ（ｒ））＝Ｄ（ｒ）となる１次関数として定義していきます。

以上でｆが定義できました。
区分けして定義した各区間においてｆは有理数係数の（定数ではない）１次式になっているので
有理数に対しては有理数，無理数に対しては無理数の値をとります。
しかもｆ（√２）の値ｅは超越数です。

ということで、一応例が示されたのではないかと思います。
以上の内容がご参考になれば幸いです。
ではでは☆

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■51898 / ResNo.2)

　Re[2]: 連続関数と有理数と代数的無理数と超越数

□投稿者/ 福澤一般人(2回)-(2022/06/25(Sat) 18:35:02)

興味深い構成方法で驚きました。
ありがとうございました。

解決済み!

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■51882 / 親記事)

　場合の数

□投稿者/ バレー部一般人(1回)-(2022/06/17(Fri) 21:12:00)

0から9までの整数から3つの整数x,y,zを以下の条件を満たすように選ぶ。
条件： x-y, y-z, z-x の中に3の倍数も3の倍数でないものも存在する。
この条件を満たす組(x,y,z)はいくつあるか。(x,y,zの順列)

教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51883 / ResNo.1)

　Re[1]: 場合の数

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2022/06/17(Fri) 22:14:55)

全部3の倍数であるものは
(0,3,6,9)から重複を許して3個、(1,4,7)から重複を許して3個、
(2,5,8)から重複を許して3個のいずれかなので
4^3+3^3+3^3組
全部3の倍数でないものは
(0,3,6,9)から1個、(1,4,7)から1個、(2,5,8)から1個なので
4×3×3×3!組
これらをすべての組み合わせ10^3組から引けば出せますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51884 / ResNo.2)

　Re[2]: 場合の数

□投稿者/ バレー部一般人(2回)-(2022/06/17(Fri) 23:01:30)

ありがとうございます。

10^3-4^3-3^3-3^3-4×3×3×3!
=666

ちょっと怖いですね…。

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■51875 / 親記事)

　正規分布

□投稿者/ マル一般人(1回)-(2022/06/13(Mon) 03:32:58)

ある世帯の毎年6月における電気料金は、平均4,000円、標準偏差500円の独立で同一の正規分布で近似される。

⑵ ある年において、6月の電気料金がその前年の6月の電気料金より800円以上高くなる確率はいくらか。次の1〜5のうちから最も適切なものを一つ選べ。
①0.027②0.110③0.129④0.212⑤0.500

⑶ ある年において、6月の電気料金がその前年及び前々年の6月の電気料金のどちらよりも高くなる確率はいくらか。次の1〜5のうちから最も適切なものを一つ選べ。
①0.250②0.333③0.400④0.500⑤0.666

エクセルの関数を使って解こうと思っているのですが、どのように使えば良いのかわからないのでご教授願いたいです。

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■51876 / ResNo.1)

　Re[1]: 正規分布

□投稿者/ マシュマロ一般人(12回)-(2022/06/13(Mon) 08:17:23)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

こんにちは＾＾

設問の場合はσ＝５００なので、８００＝１．６σになります。
１問目に関しては、標準正規分布の確率密度関数をｆ（ｘ），
また累積分布関数をF（ｘ）＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ（積分区間は（－∞，ｘ））とおくと
求める確率は∫ｆ（ｘ）・Ｆ（ｘ－１．６）ｄｘ（積分区間は（－∞，∞））となります。

ｘ＋１．６ではなく、ｘ－１．６になっているのは、ｆ（ｘ）の対称性から
「前年度より８００円以上安い確率」に等しくなるので、Ｆ（ｘ）を用いた
式表示としては上のように表示するのが便利だからです。
（値に関しては手元に計算機がないのでわかりませんです）

２問目は、前月より高い確率も低い確率も対称性により等しく１／２となります。
前々月についても同様で、しかも各月が独立という仮定なので、
確率は１／２・１／２＝1／４となり、①が正しいのではないかと思います。

統計学に関しては疎いので、合っているかどうかわかりませんが、ご参考になれば幸いです。
ではでは☆

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■51878 / ResNo.2)

　Re[2]: 正規分布

□投稿者/ マシュマロ一般人(13回)-(2022/06/14(Tue) 00:15:17)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

２問目は思い違いをしていました。
正しくは１／３で、②が正解だと思います。

今年・前年・前々年のうち、今年の料金が１番になる確率であり、３年とも
対称な条件なので、確率は１／３になるはずです。

前年を上回る時点で無条件の場合より高い確率が増えるため、
前々年との比較は独立な条件でなくなるようですね。

求める確率Ｐの積分計算は次のようになります。（積分区間は（－∞，∞））

P＝∫ｆ（ｘ）・（Ｆ（ｘ））＾２・ｄｘ

ｆ（ｘ）＝Ｆ´（ｘ）なので

Ｐ＝［１／３・（Ｆ（ｘ））＾３）］

Ｆ（∞）＝１，Ｆ（－∞）＝０より

Ｐ＝１／３となります。

……確率・統計は難しいです。。。

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■51860 / 親記事)

　場合の数

□投稿者/ 場合の数一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 17:42:23)

赤玉が3つあり、1,2,3の番号がふってある。
白玉、青玉も3つずつあり、同様に1,2,3の番号がふられている。
これらの9個の玉を横一列に並べるとき、k=1,2,…,9として
左から数えてk-1番目までは2色以下しか並んでない列の数をa[k]個、
左から数えてk番目に初めて3色が出揃う列の数をb[k]個とするとき
a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9] と
b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
の値の求め方を教えて下さい。

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■51861 / ResNo.1)

　Re[1]: 場合の数

□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 18:54:59)

a[k]=「左から数えてk-1番目までは2色以下しか並んでない列の数」
=「左から数えてk番目以降に初めて3色が出揃う列」
=b[k]+b[k+1]+b[k+2]+…+b[9]
なので
a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]
=(b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
　+(b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
　+(b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
　+…
　+(b[9])
=b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
となり、求める二つの値は同じであることがわかります。

a[1]=9!=362880
a[2]=9!=362880
a[3]=9!=362880
a[4]=9!-3^3×3!×6!=246240
a[5]=6P4×3C2×5!=129600
a[6]=6P5×3C2×4!=51840
a[7]=6P6×3C2×3!=12960
a[8]=0
a[9]=0
なので
a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]
=b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
=1529280
となります。

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■51862 / ResNo.2)

　Re[2]: 場合の数

□投稿者/ 場合の数一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 21:21:54)

ありがとうございます！

解決済み!

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