数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■50226 / 親記事)  極大と変曲
  
□投稿者/ ブリリアンto 一般人(1回)-(2020/03/03(Tue) 12:10:37)
    この問題を教えて下さい。

    f(x)=e^(kx)*sin(x) (0<x<π) とする。
    f(x)の極大点のy座標をp、f(x)の変曲点のy座標をqとする。
    lim[k→∞]q/pの値を求めよ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50228 / ResNo.1)  Re[1]: 極大と変曲
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 13:28:01)
    極大値をとるxはf'(x)=0からksinx+cosx=0なのでx=π-arctan(1/k)
    変曲点のxはf''(x)=0からk^2sinx+2kcosx-sinx=0なのでx=π-arctan(2k/(k^2-1))
    よって
    p=e^(k(π-arctan(1/k)))*sin(π-arctan(1/k))
    =e^(k(π-arctan(1/k)))/√(k^2+1)
    q=e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))*sin(π-arctan(2k/(k^2-1)))
    =2ke^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/(k^2+1)
    ∴q/p={2k/√(k^2+1)}{e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))}
    lim[k→∞]2k/√(k^2+1)=2
    loglim[k→∞]e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))
    =lim[k→∞]log{e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))}
    =lim[k→∞]k(π-arctan(2k/(k^2-1)))-k(π-arctan(1/k))
    =lim[k→∞]karctan(1/k)-karctan(2k/(k^2-1))
    =lim[k→∞]{k(1/k)}{(1/k)/arctan(1/k)}-{k・2k/(k^2-1)}{(2k/(k^2-1))/arctan(2k/(k^2-1))}
    =-1
    から
    lim[k→∞]e^(k(π-arctan(2k/(k^2-1))))/e^(k(π-arctan(1/k)))=1/e
    ∴lim[k→∞]q/p=2/e

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50230 / ResNo.2)  Re[2]: 極大と変曲
□投稿者/ ブリリアンto 一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 16:30:28)
    ありがとうございます。

    高校生向けの問題なのでarctanが出ないように解けますでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50231 / ResNo.3)  Re[3]: 極大と変曲
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 18:24:38)
    極大値をとるxをuとするとf'(u)=0からksinu+cosu=0なのでtanu=-1/k
    変曲点のxをvとするとf''(v)=0からk^2sinv+2kcosv-sinv=0なのでtanv=-2k/(k^2-1)
    よって
    p=e^(ku)*sinu=e^(ku)/√(k^2+1)
    q=e^(kv)*sinv=2ke^(kv)/(k^2+1)
    ∴q/p={2k/√(k^2+1)}{e^(kv)/e^(ku)}
    lim[k→∞]2k/√(k^2+1)=2
    loglim[k→∞]e^(kv)/e^(ku)
    =lim[k→∞]log{e^(kv)/e^(ku)}
    =lim[k→∞]kv-ku
    =lim[k→∞]k(v/tanv)tanv-k(u/tanu)tanu
    =lim[k→∞]k(v/tanv)(-2k/(k^2-1))-k(u/tanu)(-1/k)
    =-1
    から
    lim[k→∞]e^(kv)/e^(ku)=1/e
    ∴lim[k→∞]q/p=2/e

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50232 / ResNo.4)  Re[4]: 極大と変曲
□投稿者/ ブリリアンto 一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 19:32:49)
    ありがとうございます。
    とても感謝しております。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



スレッド内ページ移動 / << 0 >>

このスレッドに書きこむ

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター