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■50223 / 親記事)  sinの不等式
  
□投稿者/ 6本の電柱 一般人(1回)-(2020/03/01(Sun) 17:55:55)
    自然数nと0<r<1、0<θ<πをみたす実数r、θに対して
    Σ[k=1→n] r^(2k-1) * sin((2k-1)θ) >0
    が成り立つことの証明を教えて下さい。
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■50224 / ResNo.1)  Re[1]: sinの不等式
□投稿者/ m 一般人(3回)-(2020/03/02(Mon) 23:46:05)
    複素数やオイラーの公式は使っていいですか。
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■50225 / ResNo.2)  Re[2]: sinの不等式
□投稿者/ 6本の電柱 一般人(2回)-(2020/03/03(Tue) 10:05:08)
    大丈夫です、お願いします。
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■50229 / ResNo.3)  Re[3]: sinの不等式
□投稿者/ m 一般人(4回)-(2020/03/03(Tue) 13:57:54)
    2020/03/03(Tue) 14:17:56 編集(投稿者)
    2020/03/03(Tue) 14:16:27 編集(投稿者)

    で示せば十分。
    (∵
    のときは となって成立
    のとき よ りに帰着


    複素平面で考える。


    と定める。


    の虚部 を示す。


    三点 を通る円を 、その内側を とする。

    次の3つを示せばいい。

    (1)

    (2)

    (3) (上半平面)


    証明:
    図 ttps://www.geogebra.org/classic/uvhyd27f

    (1)
    は線分 の内分点
    よって

    (2)

    より円 は三点を通る。

    は線分 の内分点
    は線分 の内分点
    だから(点の中心が順に同一直線上に並んで、半径は の方が短いことが言えるから)


    (3)

    より、の中心は虚軸正にある。原点を通るから上半平面にある。



    もしかしたら、もっと簡単にできるかもしれません。
    ""は角ABCの意味です。("\angle"がうまく変換されない。)

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■50233 / ResNo.4)  Re[4]: sinの不等式
□投稿者/ 6本の電柱 一般人(3回)-(2020/03/03(Tue) 22:02:31)
    有り難うございました。
    図も付けていただいて、よく理解できました。
    こんなに発想力がいる問題とは思いませんでした。
解決済み!
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