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■52152 / 親記事)  e
□投稿者/ お食い初め 一般人(1回)-(2023/04/20(Thu) 07:42:17)
    log(e+1)>e^2/(e^2-1)
    の証明教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52153 / ResNo.1)  Re[1]: e
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2023/04/20(Thu) 11:41:40)
    log(1+x)>x-x^2/2 と e>2 を使ってよければ

    (e^2-1)log(e+1)=(e^2-1)log{e(1+1/e)}=(e^2-1){1+log(1+1/e)}
    >(e^2-1){1+1/e-(1/e)^2/2}
    =e^2+e-3/2-1/e+(1/e)^2/2
    =e^2+(e-2){1+1/(2e)}+(1/e)^2/2
    >e^2
    なので
    log(e+1)>e^2/(e^2-1)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52154 / ResNo.2)  Re[2]: e
□投稿者/ お食い初め 一般人(2回)-(2023/04/20(Thu) 18:29:01)
    ありがとうございます!
解決済み!
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■52150 / 親記事)  三角形
□投稿者/ △ 一般人(1回)-(2023/04/20(Thu) 03:35:34)
    次の条件を満たす正の有理数p,qは存在するのでしょうか?

    条件
    面積がpで周の長さがqの三角形がただ一つだけ存在する。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52151 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2023/04/20(Thu) 07:19:09)
    存在しません。
    まず、周の長さが有理数である正三角形の面積は無理数ですから、
    面積も周の長さも有理数である三角形は正三角形ではありません。
    そこで、最初に「周の長さがqの正三角形ABC」を考えます。
    周の長さが一定のとき、面積が最大になるのは正三角形の場合ですから、
    正三角形ABCの面積はpより大きくなります。
    BCを(面積がp以下にならないよう)わずかに短くし、その分AB,ACを同量長くして
    周の長さが変わらないようにします。するとAB=AC>BCである二等辺三角形
    (周の長さはqで面積はpより大きい)を作ることができます。
    そして周の長さが変わらないように、Aを(B,Cを焦点とする楕円周に沿って)
    移動すれば面積をpにすることができます。
    「BCをわずかに短くする量」は無限通りありますので、
    「面積がpで周の長さがqである三角形」も無限通りあることになります。
    よって、「ただ一つ」どころか、
    「面積がpで周の長さがqの三角形が有限個である」ものすら存在しません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52158 / ResNo.2)  Re[2]: 三角形
□投稿者/ △ 一般人(2回)-(2023/04/22(Sat) 01:58:28)
    有難うございました。
    とても分かりやすかったです。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52127 / 親記事)  整数ですか?
□投稿者/ 整数 一般人(1回)-(2023/03/07(Tue) 16:03:40)
    は整数で、ではないとします。

    は整数ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52128 / ResNo.1)  Re[1]: 整数ですか?
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2023/03/07(Tue) 19:31:04)
    (a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7 = 7(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
    (a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4 = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
    なので
    {(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7}/{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4} = (7/2)(a-b)(b-c)(c-a)
    であり、a-b,b-c,c-aのうち少なくとも一つは偶数なので、与式は整数になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52129 / ResNo.2)  Re[2]: 整数ですか?
□投稿者/ 整数 一般人(2回)-(2023/03/08(Wed) 09:40:53)
    ありがとうございます。
解決済み!
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■52120 / 親記事)  複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(1回)-(2023/03/05(Sun) 21:16:09)
    複素数x,y,zが
    x+y+z=0かつx^4+y^4+z^4=0
    を満たしているとき
    x^2+y^2+z^2
    の値を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52121 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2023/03/05(Sun) 22:32:41)
    x=y=z=0は条件を満たし、このときのx^2+y^2+z^2の値は0
    x=y=z=0でないとき、z≠0とすれば
    x/z+y/z+1=0かつ(x/z)^4+(y/z)^4+1=0
    x/z=a, y/z=bとおくと
    a+b=-1, a^4+b^4=-1
    a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab
    a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(1-2ab)^2-2a^2b^2=1-4ab+2a^2b^2=-1
    2(ab)^2-4ab+1=-1
    2(ab)^2-4ab+2=0
    (ab)^2-2ab+1=0
    (ab-1)^2=0
    ab=1
    よって
    a^2+b^2=1-2ab=-1
    a^2+b^2+1=0
    両辺にz^2≠0を掛けて
    x^2+y^2+z^2=0
    従ってx=y=z=0かどうかにかかわらずx^2+y^2+z^2=0

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■52122 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数
□投稿者/ 複素数 一般人(2回)-(2023/03/05(Sun) 23:09:48)
    有難うございます。
    大変分かり易かったです。
解決済み!
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■52117 / 親記事)  五角形への疑問
□投稿者/ park235 一般人(2回)-(2023/03/03(Fri) 21:06:42)
    単位円に五角形が内接しています
    この五角形の辺のどれかは長さが無理数ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52118 / ResNo.1)  Re[1]: 五角形への疑問
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2023/03/03(Fri) 23:41:29)
    例えば
    A(1,0),B(7/25,24/25),C(-7/25,24/25),D(-1,0),E(7/25,-24/25)
    とすれば
    AB=CD=EA=6/5, BC=14/25, DE=8/5
    となります。

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■52119 / ResNo.2)  Re[2]: 五角形への疑問
□投稿者/ park235 一般人(3回)-(2023/03/04(Sat) 21:05:02)
    ありがとうございました
解決済み!
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