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■17165

　Re[3]: ＜別解＞

□投稿者/ laki -(2006/09/06(Wed) 22:39:57)

私も別解
f(k)=(ak+b)*3^kとおいて、
f(k)-f(k-1)=(ak+b)*3^k-{a(k-1)+b}*3^(k-1)=(2ak+a+2b)*3^(k-1)
これが、k*3^(k-1)となるように係数比較して、a=1/2,b=-1/4
よって、
Σ[k=1,n]k*3^(k-1)
=Σ[k=1,n]{f(k)-f(k-1)}=f(n)-f(0)=(1/2n-1/4)*3^n+1/4

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■17202

　Re[1]: 数え上げ？

□投稿者/ KINO -(2006/09/08(Fri) 19:30:54)

■No17199に返信(khoさんの記事)
> 「aを2以上の整数とするとき、sin(aθ)cosθ=0をみたすθが13個存在するときの最大のaの値を求めよ。」
>
> という問題ですけど、”最大のaの値”という言葉にひっかり、解答の道筋が見出せません。sin(aθ)=0またはcosθ=0の場合にわけるところまでは、考えついたのですが、その後がつづきません。どなたかご指導ください。

θの範囲は大事なのですが，0≦θ＜2πでいいのでしょうか。
まず sin(aθ)=0 となるθの値は，0≦aθ＜2aπの範囲より aθ=nπ，n=0, 1, 2, ..., 2a-1 です。書き換えれば，θ=nπ/a，n=0, 1, 2, ..., 2a-1 で，このようなθの値は 2a 個あります。
一方，cosθ=0 となるのは θ=π/2，3π/2 のふたつだけです。
これらのθの値に共通のものがあるかどうかで場合分けします。
(1) 一つも共通のものがない場合。
解θの個数は 2a+2=2(a+1) 個と偶数になるので，これが 13 になることはないのでこの場合は却下。
(2) 一つだけ共通のものがある場合。
解θの個数は 2a+2-1=2a+1 個で，これが 13 に等しいためには a=6 でなければなりません。そうすると，sin(aθ)=0 となるのは
θ=0, π/6, 2π/6, 3π/6, 4π/6, 5π/6, 6π/6, 7π/6, 8π/6, 9π/6, ... ですが，3π/6=π/2，9π/6=3π/2 で，これらは cosθ=0 となるθとかぶっています。
一つだけ共通のものがある場合について考えていたのに，これは矛盾です。よってこれも却下。
(3) ふたつ共通のものがある場合。
解の個数は 2a+2-2=2a 個で，これは偶数なのでまたもや不適。

結論は，θの範囲がわからないとできない，ということになります。
ただし，考え方としては上記のようなものになると思われます。

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■17491

　Re[1]: 変数関数

□投稿者/ KINO -(2006/09/20(Wed) 19:45:57)

■No17489に返信(HOSSさんの記事)
> Find the vector function for the curve intersection of two surfaces.
>
> The paraboloid z=4(x^2)＋(y^2) and parabolic cylinder y=x^2

paraboloid 上の点は (u,v,4u^2+v^2) と表せます。
これが parabolic cylinder 上にもあるとき，v=u^2 なので
(u,u^2,4u^2+u^4) が求める vector function になります。

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■17590

　Re[1]: 二次関数

□投稿者/ 数樂 -(2006/09/24(Sun) 23:34:38)

(A)のグラフとx軸との交点のx座標は、(A)の方程式にy=0を代入してできる方程式
　　ax^2+2ax+a+6＝0
の２つの解です。これが異なる実数解をもつためには
　　D＝4a^2-4a(a+6)＝4a^2-4a^2-24a＝-24a＞0
よって　a<0
そして、この範囲で、２つの解は、解の公式により
　　x＝｛-2a±√(-24a)｝/2a＝｛-2a±2√(-6a)｝/2a＝2｛-a±√(-6a)｝/2a
　　　＝｛-a±√(-6a)｝/a＝-1±｛√(-6a)｝/a
２点P，Q間の距離は、この２つの解の差ですが
a<0　より、√(-6a)/a<0，－√(-6a)/a>0，
よって
　　PQ＝｛-a-√(-6a)｝/a－｛-a+√(-6a)｝/a
　　　　＝｛-√(-6a)｝/a－｛√(-6a)｝/a
　　　　＝｛-2√(-6a)｝/a
これが　2√6　と等しいから
　　　　｛-2√(-6a)｝/a＝2√6　
　　　　-√(-6a)＝（√6）a
両辺を２乗して
　　　　-6a＝6a^2
　　　　a^2+a＝0
　　　　a(a+1)＝0
a<0よりa＝-1

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■17591

　Re[1]: 二次関数

□投稿者/ 数樂 -(2006/09/24(Sun) 23:59:46)

次に(B)のグラフとx軸との交点のx座標も同様に
　　x^2+bx+2b-6＝0
の２つの解です。
ここで　D＝b^2－4(2b-6)＝b^2－8b+24＝(b-4)^2+8>0　ですから
この方程式は常に異なる２つの実数解をもち、その解は
　　x＝｛-b±√(b^2－8b+24)｝/2
よって
　RS＝｛-b+√(b^2－8b+24)｝/2－｛-b-√(b^2－8b+24)｝/2
　　　＝｛√(b^2－8b+24)｝/2＋｛√(b^2－8b+24)｝/2
　　　＝√(b^2－8b+24)
これが2√6　以下なのだから
　　　（0<）　√(b^2－8b+24)≦2√6　
両辺を２乗して
　　　b^2－8b+24≦24
　　　b^2－8b≦0
　　　b(b－8)≦0
　　　0≦b≦8

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■17651

　Re[1]: 部分分数分解

□投稿者/ KINO -(2006/09/28(Thu) 10:31:23)

■No17649に返信(しまださんの記事)
> 1/(x^2+x+1)(x^2-x+1)の部分分数展開のやり方がわかりません。
> 教えてください。

$2$\frac{1}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}=\frac{ax+b}{x^2+x+1}+\frac{cx+d}{x^2-x+1}$ とおいて右辺を通分したときの分子を見ると，
$2$(ax+b)(x^2-x+1)+(cx+d)(x^2+x+1)=(a+c)x^3+(-a+b+c+d)x^2+(a-b+c+d)x+b+d$
となり，これが 1 に等しいことから，a+c=0，-a+b+c+d=0，a-b+c+d=0，b+d=1 です。
第1式より c=-a, 第4式より d=1-b なので，これらを第2式と第3式に代入して
-2a+1=0, 1-2b=0. よって a=1/2, b=1/2, c=-1/2, d=1/2 となります。
以上より， $2$\frac{1}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{x-1}{x^2-x+1}\right)$ .

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■17788

　Re[1]: 三角関数の問題おしえてください！！

□投稿者/ KINO -(2006/10/04(Wed) 15:31:29)

■No17787に返信(ほなみさんの記事)
> sinθ+cosθをrsin(θ+α)の形に変形せよ。
> ただしr＞0とする。

加法定理より sin(θ+α)=cosαsinθ+sinαcosθ なので，
rsin(θ+α)=rcosαsinθ+rsinαcosθ です。
これが sinθ+cosθ に一致するには，sinθとcosθの係数を比較して，
rcosα=1, rsinα=1
が成り立つように r と α を選べばいいことがわかります。
2=1^2+1^2=(rcosα)^2+(rsinα)^2=r^2 なので，r^2=2 となります。r>0 より r=√2.
したがって， cosα=sinα=1/√2 をみたすαを探せばよく，それは例えば α=45°があります。
以上から，sinθ+cosθ=√2sin(θ+45°) と変形できることがわかりました。

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■17826

　Re[1]: 極限

□投稿者/ KINO -(2006/10/05(Thu) 23:17:46)

■No17824に返信(よしさんの記事)
> 数列｛(x/x^2+2p)^2｝がすべての実数ｘに対して収束するとき、pの値の
> 範囲を求めよ。ただし、p>0とする。
> こんな問題なんですけどどうやって解けばいいのか分かりません。。
> 教えて下さい！
> ちなみにこたえはp>1/8です。

数列というからにはどこかに番号を表す整数がないといけないと思いますが，
見当たらないようです。
数列はおそらく $2$\left\{\left(\frac{x}{x^2+2p}\right)^n\right\}$ なのでしょうね。
これがすべての実数に対して収束するということは，これは初項 1，公比 x/(x^2+2p) の等比数列なので，これが収束するためには公比の絶対値が 1 より小さいことが必要十分です。
つまり，|x/(x^2+2p)|<1. これは -1<x/(x^2+2p)<1 と同値で，p>0 より -(x^2+2p)<x<x^2+2p と同値。
結局 x^2±x+2p>0 がすべての実数に対して成り立つ条件を求めることになり，x^2±x+2p の判別式が正であることというのがその条件なので，p>1/8 が得られます。

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■17849

　Re[1]: ３次方程式

□投稿者/ miyup -(2006/10/06(Fri) 23:48:43)

2006/10/06(Fri) 23:49:41 編集(投稿者)

■No17847に返信(ゆみ　高２さんの記事)
> ・３次方程式ｘ＾３－（ａ＋１）ｘ＾２＋２ａｘ＋ｂ＝０（ａ、ｂは実数の定数）・・・①は、ｘ＝１を解にもつ。このとき、次の各問いに答えなさい。
>
> （１）①が虚数解をもつとき、ａのとりうる値の範囲を求めよ。

x=1 を方程式に代入して b=-a となるので、方程式は x^3-(a+1)x^2+2ax-a=0 (x-1)(x^2-ax+a)=0 となる。
これが虚数解を持つ⇔２次式の部分の判別式＜０より、D=(-a)^2-4a<0 a(a-4)<0 ∴0<a<4。

> （２）（１）のとき、①の２つの虚数解をα、βとする。
> 方程式ｘ＾２＋ｃｘ＋５ａ－６＝０の２つの解がα＾２＋β＾２、αβであるとき、
> 定数ｃの値を求めよ。

解と係数の関係より、α+β=a, αβ=a このとき α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=a^2-2a
方程式の２解の和 -c=a^2-2a+a=a^2-a　２解の積 5a-6=(a^2-2a)a より a=1,3 [←0<a<4]
このとき c=-a^2+a=0,-6。

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■17908

　Re[1]: 図と方程式【平行な直線】

□投稿者/ 平木慎一郎 -(2006/10/08(Sun) 20:48:06)

■No17906に返信(Michaelさんの記事)
> この問題の解き方がわからないのですが、助けて下さい。
>
> 　　１　　７
> ｙ＝―ⅹ＋―と直線(ｍ－１)ⅹ＋(ｍ－２)ｙ＋３＝０
> 　　３　　３
> とが平行であるとき、定数ｍを求めよ。
>
直線の式の基本形は
$2$y=ax+b$ ですね。
この $2$a$ が傾きを表すのですから、これが互いに等しくなると考えると
一番わかりやすいと思います。

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■17913

　Re[2]: 図と方程式【平行な直線】

□投稿者/ ＫＧ -(2006/10/08(Sun) 21:11:58)

> 直線の式の基本形は
> $2$y=ax+b$ ですね。
> この $2$a$ が傾きを表すのですから、これが互いに等しくなると考えると
> 一番わかりやすいと思います。
　ｍ＝ｍ′ はわかりやすいかもしれないが，
　今は場合分けが必要になることはご存じか？

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■18021

　Re[2]: 教えてください3

□投稿者/ 豆 -(2006/10/12(Thu) 11:13:04)

4次式をf(x)とおくと，
接線の方程式は，接点をαとすると，
y-f(α)=f’(α)(x-α)
これが，(3/2，a)を通るので，
a=f(α)-f'(α)(3/2-α)
このαに関する4次方程式がいくつの根を持つかをaの条件
で求めるのだから，右辺の4次式のグラフは必要でしょう．

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■17987

　Re[3]: hinto

□投稿者/ 平木慎一郎 -(2006/10/11(Wed) 19:57:23)

■No17982に返信(早田ナル8号さんの記事)
> ありがとうございました。
>
> RQ=CQ=(√3)xと分かったので
> AQ+QR=DC
> 2x+(√3)x=2
> を計算しようと思ったんですが
> うまく前へ進めません
> どこかで間違えているんでしょうか？
>
> おねがいします。

僕の言い方が悪かったのですが、RQ=CQを利用して方程式を作るといった方が
よかったですね。すみません。
やり方としては三角形RQCが直角二等辺三角形であることからRC:QC＝√2：1
というのを利用するのです。注意すべきことは $2$AQ=2\sqrt{3}x$ ですので、
$2$QC=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}x$ であるということです。結果として式は
$2$RC:QC=\sqrt{6}x:(2\sqrt{3}-2\sqrt{3}x)=\sqrt{2}:1$
これから $2$x$ の値が求まります。
面積のほうはこれが解れば簡単です。

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■18230

　空間図形

□投稿者/ Centermoon -(2006/10/18(Wed) 01:39:36)

■No18227に返信(やまともさんの記事)
> 　座標空間に2点O(0,0,0),A(1,2,2)と球面K：x^2+y^2+(z-3)^2=1があり
> 点Pは球面K上を動く。
> (１)Kの中心Cから直線OAへおろした垂線CHの長さを求めよ。
> (２)⊿OAPの面積の最大値を求めよ。
> (３)内積OP↑・OA↑の最大値とそのときのPの座標を求めよ。
> 点と直線の距離の公式を使うのでしょうか？
> よろしくお願いします。

点と直線(または平面？)の距離の式を使わなくてもいいですね。
(1)　直線OA上の点Hは　( t,2t,2t )　とおけます。
　　三平方の定理より　OH^2+CH^2=OC^2　これを利用
(2)△OAPの面積はOAが固定値だからOAを底辺と見たときの高さが最大のとき最大値をとります。(1)で求めたHを利用して　直線HCと球の２つの交点のうちHから遠い方の交点で最大です。その点をQとおくとHQが△OAPの高さです。
球の半径が1だから　HQ=HC+1
(3)　OA↑、OP↑のなす角をθとすると　
　　OP↑・OA↑=|OP↑|*|OA↑|*cosθ
　　|OA↑|は固定ですから|OP↑|*cosθが最大のときを考えればよいですね。
　　この|OP↑|*cosθは何かというと直線OA上に点Pから下ろした垂線のと原点との距離でこれが最大になるのは球の中心からOAに平行に直線を引きそれが球と交わる点の原点から遠いほうです。ですから求める点Pはkを変数として　
　OP↑=OC↑+k*OA↑　とかけます。これと球との交点が求めるP

なるべく計算をしないような方法をとりましたがわかりにくいですか？

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■18267

　Re[1]: 数Ⅰ（二次不等式の問題）

□投稿者/ Ｎ -(2006/10/19(Thu) 16:56:25)

これは場合分けしましょう。
f(x)=x^2+2mx+1として、これを平方完成します。
するとf(x)=(x+m)^2-m^2+1です。これが０≦ｘ≦２の範囲でｘ軸以上になればいいということなのです。
軸はｘ＝-mだから、
(1)-m＜０の時→f(0)≧０
(2)０≦-m≦２の時→最小値-m^2+1≧０
(3)-m＞２の時→f(2)≧０
これを解いて、整理すればいいですよ。

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■18268

　Re[2]: 数Ⅰ（二次不等式の問題）

□投稿者/ キットカット -(2006/10/19(Thu) 17:22:50)

■No18267に返信(Ｎさんの記事)
> これは場合分けしましょう。
> f(x)=x^2+2mx+1として、これを平方完成します。
> するとf(x)=(x+m)^2-m^2+1です。これが０≦ｘ≦２の範囲でｘ軸以上になればいいということなのです。
> 軸はｘ＝-mだから、
> (1)-m＜０の時→f(0)≧０
> (2)０≦-m≦２の時→最小値-m^2+1≧０
> (3)-m＞２の時→f(2)≧０
> これを解いて、整理すればいいですよ。

返信ありがとうございました。
なんですが、どうやって整理すればいいのかわかりません（泣）

①は１≧０
②はｍ≧-5/4
③は-1≦ｍ≦1　となりました。。。

これからどうすればいいのか･･･。
てか、間違ってるかも（汗）

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■18084

　Re[8]: ヒントもらえますか

□投稿者/ 早田ナル8号 -(2006/10/14(Sat) 03:59:27)

ありがとうございました。

先に白玉、青玉を4つ並べるときに
区別しないで並べる場合-白玉、青玉が連続して並べる場合を出すのかと
思いました
4P4-2=22とおり

これに赤玉を連続してならばないようにいれて
5P3*22=1320

答えは1320/5040=11/42

うーん、これだと分母が3桁じゃないから違うのかー・・

■青■白■青■白■
この場合、5P3*4P4=1440

■青【赤】青■白【赤】白■
こっちの場合は、3P2*2P2=12

1440-12=1328
1328/5040=83/315

これなら分母3桁、分子2桁ですね！
これが正解でしょうか？

おねがいします。

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■18307

　空間ベクトルと四面体の体積

□投稿者/ Centermoon -(2006/10/20(Fri) 22:52:36)

次のような性質はご存知ですか?
「一直線上にない３点Ａ、Ｂ、Ｃの位置ベクトルをa↑,b↑,c↑とすると、この３点で作る平面上の任意の点Ｐはその位置ベクトルをp↑とすると
　　　p↑=s*a↑+t*b↑+u*c↑　(s+t+u=1)　で表す事ができる」
この性質を利用します。
OE↑=k*OA↑　･････(ⅰ)　とするとＥはL,M,Nで作る平面上の点だから
ｋ＊OA↑=s*OL↑+t*OM↑+u*ON↑　(s+t+u=1)　･････(ⅱ)　と表される。
ここで　L,M,Nの点の作り方より　
OL↑=(2OA↑+OB↑)/3　　OM↑=(OA↑+2OC↑)/3　ON↑=(OB↑+OC↑)/3
これを(ⅱ)に代入して係数を比較
3k=s+t　2s+u=0　2t+u=0　及び　s+t+u=1
これからkが出ます。s=2,t=1,u=-2,k=5/3　よって　OE/OA=5/3
F,Gについても同様の計算をすれば　OF/OB=5/9,　OG/OC=5/6
計算は確認しておいて下さいね。
（２）まず、OABCとOEBCの体積の比を求めてみます。
　　　底面をOBCにみれば底面共通なのであとは高さの比がそのまま体積の比になります。OA:OE=3:5ですから　OEBC=(5/3)*OABC
次にOEBCとOEFGの体積比を考えます。やはりOBCを底面と考えれば今度は高さが同じで底面が△OBCと△OFGになっています。体積比は△OBCと△OFGの面積比となりますので(1)で出た比を利用して
△OFG=(OF/OB)*(OG/OC)*△OBC
　　　=(5/9)*(5/6)*△OBC
　　　=(25/54)*△OBC　これがそのままOEBCとOEFGの体積比です。
以上より　OEFG=(25/54)*OEBC=(25/54)*(5/3)*OABC=(125/162)*OABC
（３）同様にして四面体AELMの体積がOABCに対する比で表されますので
　OEFGからAELMを引けば片側の立体の体積が?？*OABCの形で表されます。

変な値になったので計算はあまり自信がありません、自分で確認しておいて下さい。

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■20071

　Re[2]: ]

□投稿者/ digi -(2006/12/17(Sun) 23:03:51)

ご解説ありがとうございます。一応理解できたのですが、図を使った説明が分かりません。

$2$A(\vec{a}), B(\vec{b})$ とし、 $2$\vec{a}$ 、 $2$\vec{b}$ がx軸となる角α、βとして、 $2$\vec{a}\times \vec{b}$ とz軸がなす角をγ（ガンマ）とすれば、
　 $2$|\vec{a}\times \vec{b}|\cos {\gamma}=$ △OA'B'
　（ $2$\vec{a}\times \vec{b}$ のz座標が△OABをxy平面に投影してできる△OA'B'となる）
　これがよくわからないのです。

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■20160

　Re[4]: 3の常用対数を2の常用対数で割る

□投稿者/ ts345 -(2006/12/21(Thu) 22:26:23)

「マクローリン展開」というヒントを頂いてGoogleで調べていたのですが、微分の知識が必要なようで、おさらい中です。

たぶん分かる人ならこれで一発なのでしょうが…

log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - …というものを示していただきましたが、これがどのように「3の常用対数を2の常用対数で割った数」に繋がるのか理解が難しいです…

あと条件ですがきちんと書かず再度質問させるような事になってしまって申し訳ありません。

・関数電卓・√付きの電卓を持っていません。エクセルも持っていません。OpenOfficeのCalcという表計算ソフトはありますがLOG関数では1.58までしか求められませんでした。

手元の常用対数表は小数点以下4桁までの記載です。インターネット上に精度の高い常用対数表があるのでしょうか。

プログラムですが、Tiny Basic for Windows v1.1というものを使っています。Logという関数は使えるので1.58496250072115618までは出来るのですが、出来ればこの5倍位の桁数が分かれば、と思っています。(Sqrという関数も使えます)

先に「単純な計算を繰り返させるコンピュータ・プログラムを作成して良い」と書きましたが、関数電卓・√付きの電卓・精度の高い常用対数表を持っていない以外、特に制限はありません。単に自分のプログラム作成能力がその程度なだけです。

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