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ヒット / 289件

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■21234

　Re[1]: スカラー場

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/23(Tue) 00:42:56)

digiさん，こんばんわ．

> スカラー場について質問です。
>
> スカラー場で、点P(x, y, z)における等位面の方程式を
> $2$\varphi(x,y,z)=c$ ・・・(1)
> とする。等位面上の曲線を $2$\vec{a}=(x(t),y(t),z(t))$ とすれば、
> $2$\varphi(x(t),y(t),z(t))=c$ ・・・(2)
> となる。これは、(1)に(2)のx=x(t),y=y(t),z=z(t)を代入したということですよね？

そうです．

>
> それで、(2)式の両辺をtで微分すると、
> $2$\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\frac{dz}{dt}=0$
> となるそうですが、これが良く分かりません。右辺はもちろん分かりますが、左辺は微分したらなぜそれぞれの成分を微分したものの和になるのでしょうか？

これについては，digiさんがお手持ちの「解析学」の教科書に必ず証明が載っているはずですので，そちらを参照してください．（「連鎖律」っていうキーワードで索引を調べて見てください）．

以下，証明の概略を示しておきます．
$2$ \phi(t+h)=\phi(t)+\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}\right)h+o(h)$
を示せばよい．
$2$ \Delta x = x(t+h)-x(t), \\ \Delta y = y(t+h)-y(t), \\ \Delta z = z(t+h)-z(t)$
とおくと，
$2$ \Delta x = \frac{dx}{dt}h+o(h), \\ \Delta y = \frac{dy}{dt}h+o(h), \\ \Delta z = \frac{dz}{dt}h+o(h)$
であるから，
$2$ \phi(t+h) = \phi(x(t+h),y(t+h),z(t+h)) \\ =\phi(x(t)+\Delta x, y(t)+\Delta y, z(t)+\Delta z) \\ =\phi(x(t),y(t),z(t))+\frac{\partial \phi}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \phi}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial \phi}{\partial z}\Delta z +o(r)$
ただし， $2$r=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}$
$2$ =\phi(t)+\frac{\partial \phi}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \phi}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial \phi}{\partial z}\Delta z +o(r) \\ =\phi(t)+\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}h+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}h+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}h+\frac{\partial \phi}{\partial x}o(h)+\frac{\partial \phi}{\partial y}o(h)+\frac{\partial \phi}{\partial z}o(h)+o(r) \\$
ここで，
$2$ \frac{\partial \phi}{\partial x}o(h)+\frac{\partial \phi}{\partial y}o(h)+\frac{\partial \phi}{\partial z}o(h) = o(h)$
また，
$2$ |\frac{r}{h}|\leq |\frac{\Delta x}{h}| + |\frac{\Delta y}{h}| + |\frac{\Delta z}{h}|\leq |\frac{dx}{dt}|+|\frac{dy}{dt}|+|\frac{dz}{dt}|+o(1)$
であるから，
$2$ o(r)=o(h)$
よって，
$2$ \phi(t+h)=\phi(t)+\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}\right)h+o(h)$
（証明終わり）

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■21236

　Re[1]: スカラー場

□投稿者/ 場」 -(2007/01/23(Tue) 01:02:08)

■No21230に返信(digiさんの記事)
> スカラー場について質問です。
>
> スカラー場で、点P(x, y, z)における等位面の方程式を
> $2$\varphi(x,y,z)=c$ ・・・(1)
> とする。等位面上の曲線を $2$\vec{a}=(x(t),y(t),z(t))$ とすれば、
> $2$\varphi(x(t),y(t),z(t))=c$ ・・・(2)
> となる。これは、(1)に(2)のx=x(t),y=y(t),z=z(t)を代入したということですよね？
>
> それで、(2)式の両辺をtで微分すると、
> $2$\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\frac{dz}{dt}=0$
> となるそうですが、これが良く分かりません。右辺はもちろん分かりますが、左辺は微分したらなぜそれぞれの成分を微分したものの和になるのでしょうか？

スカラー場のGrad(f)(X) は　...に直交し

内積　inner product　が　零　は　明々　白白。

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■21335

　Re[3]: ‘９８上智大・経　の問題

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/26(Fri) 13:57:12)

イサシさん、こんばんわ。

>>
>>↑の問題は以下のように解釈してよろしいでしょうか？
>>【問題】 $2$P(x)=bx+c$ は， $2$0<\theta<\pi/2$ である任意の $2$\theta$ に対して，
>> $2$ \sin 3\theta = P\left(\frac{\cos ^{2}\theta}{\sin ^{2}\theta}\right)\sin ^{3}\theta$
>>を満たしているとする．このとき， $2$b,c$ の値を求めよ．
>

次のようになります。
$2$ \sin 3\theta = P\left(\frac{\cos ^{2}\theta}{\sin ^{2}\theta}\right)\sin ^{3}\theta \\ \Longleftrightarrow \sin 3\theta = \left\{b\left(\frac{\cos ^{2}\theta}{\sin ^{2}\theta}\right)+c\right\}\sin ^{3}\theta \\ \Longleftrightarrow \sin 3\theta = b\sin \theta\cos ^{2}\theta+c\sin ^{3}\theta \\ \Longleftrightarrow \sin 3\theta = b\sin \theta(1-\sin ^{2}\theta)+c\sin ^{3}\theta \\ \Longleftrightarrow 3\sin \theta-4\sin ^{3}\theta = (c-b)\sin ^{3}\theta+b\sin \theta$
これが任意の $2$\theta$ に対して成立する条件より、
$2$ c-b=-4, \quad b=3 \\ \Longleftrightarrow b=3, c=-1$
となります。

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■21413

　Re[1]: 二次関数

□投稿者/ ゼロ -(2007/01/29(Mon) 16:28:23)

共通解をxとすると、
x^2+x+a=b^2x^2+bx+a
より、(b+1)x+1=0 b≠-1として、 x=-1/(b+1)
これが、x^2+x+a=0を満足するので、1-(b+1)+a(b+1)^2=0・・・①

一方もう1つの解はx^2+x+a=(x-1/(b+1))(x-a(b+1))=0より、β=a(b+1)・・・②
①より、β=1-1/(b+1)=b/(b+1)・・・③

またb^2x^2+bx+a=b^2(x-1/(b+1))(x-a(b+1)/b^2)より、γ=a(b+1)/b^2
②より、γ=β/b^2
③より、|β-γ|=|β||b^2-1|/|b^2|=|b-1|/|b|=1
よって|b|=|b-1|
これより、b=1/2+ti t∈R
もしbを実数に限るならb=1/2
あとは順次導いた式に代入してa,β,γを出します。

計算はご確認ください。

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■21389

　Re[2]: 媒介変数

□投稿者/ ゆうき -(2007/01/28(Sun) 14:19:54)

ありがとうございました！！！
私立の入試まであと1週間ちょっとなのでがんばりたいと思います。

ちなみに、解答の途中の式で、

点Ｐ（Ｘ,Ｙ）とすると
Ｘ＝２(cosθ)^2
Ｙ＝２cosθ・sinθ

と書いてあったのですが、
これがなぜこういう式になるのかもよくわかりません。
初歩的な質問かもしれませんがわかる方教えてください。
おねがいします。

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■21414

　Re[3]: 媒介変数

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/29(Mon) 18:36:25)

ゆうきさん，こんばんわ．

> ありがとうございました！！！
> 私立の入試まであと1週間ちょっとなのでがんばりたいと思います。
>
>
>
> ちなみに、解答の途中の式で、
>
> 点Ｐ（Ｘ,Ｙ）とすると
> Ｘ＝２(cosθ)^2
> Ｙ＝２cosθ・sinθ
>
> と書いてあったのですが、
> これがなぜこういう式になるのかもよくわかりません。
> 初歩的な質問かもしれませんがわかる方教えてください。
> おねがいします。

$2$\triangle{OAP}$ に注目してください．これは， $2$\angle{AOP}=\theta,\angle{APO}=\pi/2$ の直角三角形ですね．ということは，
$2$ OP = OA\cos \theta = 2\cos \theta$
となります．次に， $2$P$ から $2$x$ 軸， $2$y$ 軸へ下ろした垂線の足を $2$P_{x}, P_{y}$ とすると，
$2$ OP_{x} = OP\cos \theta = 2\cos \theta\cos \theta = 2\cos ^{2}\theta, \\ OP_{y} = OP\sin \theta = 2\cos \theta\sin \theta$
つまり， $2$P(X,Y)$ とすると，これは
$2$ X = 2\cos ^{2}\theta, \quad Y=2\cos \theta\sin \theta$
であることを示してますね．後は，この式から $2$\theta$ を消去すればよいわけです．２倍角の公式：
$2$ \sin 2\theta = \sin \theta\cos \theta$
ならびに，半角の公式：
$2$ \cos ^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$
を用いると，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} X = 1+\cos 2\theta, \\ Y = \sin 2\theta \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos 2\theta = X-1 \\ \sin 2\theta = Y \end{array} \right.$
ですから，この２式から $2$\theta$ を消去すると，
$2$ (X-1)^{2}+Y^{2} = 1$
が得られます．

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■21523

　Re[1]: 面積

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/02/01(Thu) 20:40:56)

やまともさん，こんばんわ．

> また、教えてください。
>
> tを正の数とし、点(t,-1)より放物線y=x^2に2本の接線を引く。これらの接線と放物線とで囲まれた部分の面積をS(t)とするとき、S(t)/√tの最小値を求めよ。
>
> (携帯)

$2$y=x^{2}$ ……①より， $2$y'=2x$ であるから，①上の点 $2$(a,a^{2})$ での接線の方程式は，
$2$ y-a^{2} = 2a(x-a) \\ \Longleftrightarrow y = 2ax-a^{2}$
であり，これが点 $2$(t,-1)$ を通るとき，
$2$ -1=2at-a^{2}$
$2$\Longleftrightarrow a^{2}-2ta-1=0$ ……②
そこで，②の２解を $2$\alpha,\beta(\alpha<\beta)$ とすると，解と係数の関係より，
$2$\alpha+\beta = 2t, \quad \alpha\beta = -1$ ……③
であり，求める面積は
$2$ S(t) = \displaystyle\int_{\alpha}^{t}(x^{2}-2\alpha x+\alpha^{2})dx +\displaystyle\int_{t}^{\beta}(x^{2}-2\beta x+\beta^{2})dx \\ =\displaystyle\int_{\alpha}^{t}(x-\alpha)^{2}dx + \displaystyle\int_{t}^{\beta}(x-\beta)^{2}dx \\ =[\frac{1}{3}(x-\alpha)^{3}]_{\alpha}^{t} +[\frac{1}{3}(x-\beta)^{3}]_{t}^{\beta} \\ =\frac{1}{3}(t-\alpha)^{3}-\frac{1}{3}(t-\beta)^{3} \\ =\frac{1}{3}(\beta-\alpha)\left\{(t-\alpha)^{2}+(t-\alpha)(t-\beta)+(t-\beta)^{2}\right\} \\ =\frac{1}{3}(\beta-\alpha)\left\{(t-\alpha+t-\beta)^{2}-(t-\alpha)(t-\beta)\right\} \\ =\frac{1}{3}(\beta-\alpha)\left\{(2t-\alpha-\beta)^{2}-\left\{t^{2}-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta\right\}\right\} \\ =\frac{1}{3}(\beta-\alpha)(-t^{2}+2t^{2}+1) \\ =\frac{1}{3}\sqrt{(\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta}(t^{2}+1) \\ =\frac{1}{3}\sqrt{4t^{2}+4}(t^{2}+1) \\ =\frac{2}{3}\sqrt{(t^{2}+1)^{3}}$
よって，
$2$ \frac{S(t)}{\sqrt{t}} \\ =\frac{2}{3}\sqrt{\frac{(t^{2}+1)^{3}}{t}} \\ =\frac{2}{3}\sqrt{g(t)}$
とおくと，
$2$ g'(t) = \frac{3(t^{2}+1)^{2}\cdot 2t^{2}-(t^{2}+1)^{3}}{t^{2}} \\ =\frac{(t^{2}+1)^{2}(6t^{2}-(t^{2}+1))}{t^{2}} \\ =\frac{(t^{2}+1)^{2}(5t^{2}-1)}{t^{2}}$
より， $2$g(t)$ は $2$t=1/\sqrt{5}$ のとき，極小かつ最小となり，その最小値は
$2$ g(1/\sqrt{5}) = \frac{((1/5)+1)^{3}}{1/\sqrt{5}}=\frac{216\sqrt{5}}{125}$
であるから， $2$S(t)/\sqrt{t}$ の最小値は
$2$ \frac{2}{3}\sqrt{g(1/\sqrt{5})} \\ =\cdots\cdots$
ってな感じになります．

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■21685

　関数の問題

□投稿者/ cheru -(2007/02/06(Tue) 21:49:40)

関数f(x)はx＞0で定義された関数で、次の条件を満たしている。
(ⅰ) X1＜X2 ⇔ f(X1)＜f(X2)
(ⅱ) f(xy)=f(x)+f(y)
(ⅲ) f(3)=2

このとき、次の問いに答えよ。
(1)　f(x)=4 を満たすxの値を求めよ。
(2)　不等式 f(x+1)+f(x-3)＜4 を解け。

これがどうしてもわかりません。
出来たら早めに教えていただきたいです。

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■21673

　Re[3]: 立体の体積

□投稿者/ ルカワ -(2007/02/06(Tue) 15:59:14)

■No21605に返信(ＫＧさんの記事)
>>△ＡＢＨ，△ＡＣＨ，△ＡＤＨは合同で，
>>ＨＢ＝ＨＣ＝ＨＤとなり，
>>Ｈは△ＢＣＤの外接円の中心です．
> 　ＨＢ＝ＨＣ＝ＨＤは半径です．

Ｈが△ＢＣＤの外接円の中心ということは、やっとわかりました。
しかし、その後の解答に、
ＣＤの中点をＭとすると、ＨはＢＭ上にある。
とかかれています。これがわかりません。

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