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ヒット / 3件

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■17824

　極限

□投稿者/ よし -(2006/10/05(Thu) 14:00:09)

数列｛(x/x^2+2p)^2｝がすべての実数ｘに対して収束するとき、pの値の
範囲を求めよ。ただし、p>0とする。
こんな問題なんですけどどうやって解けばいいのか分かりません。。
教えて下さい！
ちなみにこたえはp>1/8です。

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■17826

　Re[1]: 極限

□投稿者/ KINO -(2006/10/05(Thu) 23:17:46)

■No17824に返信(よしさんの記事)
> 数列｛(x/x^2+2p)^2｝がすべての実数ｘに対して収束するとき、pの値の
> 範囲を求めよ。ただし、p>0とする。
> こんな問題なんですけどどうやって解けばいいのか分かりません。。
> 教えて下さい！
> ちなみにこたえはp>1/8です。

数列というからにはどこかに番号を表す整数がないといけないと思いますが，
見当たらないようです。
数列はおそらく $2$\left\{\left(\frac{x}{x^2+2p}\right)^n\right\}$ なのでしょうね。
これがすべての実数に対して収束するということは，これは初項 1，公比 x/(x^2+2p) の等比数列なので，これが収束するためには公比の絶対値が 1 より小さいことが必要十分です。
つまり，|x/(x^2+2p)|<1. これは -1<x/(x^2+2p)<1 と同値で，p>0 より -(x^2+2p)<x<x^2+2p と同値。
結局 x^2±x+2p>0 がすべての実数に対して成り立つ条件を求めることになり，x^2±x+2p の判別式が正であることというのがその条件なので，p>1/8 が得られます。

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■17835

　Re[2]: 極限

□投稿者/ よし -(2006/10/06(Fri) 07:40:36)

ありがとうございました！
すごい分かりやすかったです！！

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