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ヒット / 252件

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■21785

　Re[1]: 二次関数の問題です。

□投稿者/ やまとも -(2007/02/09(Fri) 01:10:45)

求める放物線の頂点を(t,2t+1)とおく。
x^2の係数が1であることから求める放物線は
　y=(x-t)^2+2t+1とおける。
これが点(2,4)を通ることから
　4=(2-t)^2+2t+1
これを解いてt=1

∴求める放物線の方程式は　y=(x-1)^2+3　……答

どうでしょうか？？

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■21806

　Re[1]: 二次関数の問題。

□投稿者/ らすかる -(2007/02/09(Fri) 07:34:45)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

頂点が直線y=-x+4上にあることから、頂点の座標は(a,-a+4)とおけます。
y=-2x^2を平行移動して頂点の座標が(a,-a+4)である放物線は
y=-2(x-a)^2+(-a+4) であり、これが点(2,1)を通ることから
1=-2(2-a)^2+(-a+4) これを解いて a=1,5/2
よって求める二次関数は
y=-2(x-1)^2+(-1+4)=-2x^2+4x+1
と
y=-2(x-(5/2))^2+(-5/2+4)=-2x^2+10x-11

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■21997

　Re[4]: 連立不等式の問題。

□投稿者/ kaede -(2007/02/14(Wed) 07:22:50)

確認しています。
これが本当の問題です。

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■22158

　Re[1]: 解き方を教えてください。其の五

□投稿者/ 天天 -(2007/02/19(Mon) 12:28:57)

補助線を引くのが早いと思います。
三角形の斜辺と底辺を延長して右に小さい三角形をつくってやります。
この三角形は上にある三角形と相似となるので各辺の長さが求まります。

全体を回転させた円錐の体積から、さっき求めた小さい三角形からできる円錐と円柱の体積を引けば答えが出ます。

積分を使う方法もありますがこれが妥当です。

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■22276

　Re[1]: 極限

□投稿者/ ゼロ -(2007/02/22(Thu) 10:48:15)

2007/02/22(Thu) 10:52:58 編集(投稿者)

対角線と辺を一緒に考えます。ある点に対し、k点離れた点に線を引くことを考えます。
(辺の場合はk=1, 1≦k≦[n/2] []はガウス記号)
その場合中心角は2πk/nなので、線分の長さは2sin(πk/n)
これがn点に対し存在するので、2nsin(πk/n)

あとはk=1～[n/2]まで和を取ります。
S(n)=Σ_{k=1～[n/2]}2nsin(πk/n)

lim[n→∞]S(n)/n^2=lim[n→∞]2/nΣ_{k=1～[n/2]}sin(πk/n)
=2∫_{0～1/2}dxsin(πx)
あとはこれを積分して下さい。

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■22591

　Re[1]: 因数分解と判別式

□投稿者/ X -(2007/03/03(Sat) 18:02:41)

xの２次方程式(係数は全て実数とします)
ax^2+bx+c=0 (A)
の解がα、βのとき
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β) (B)
となるのはよろしいでしょうか？。
これが意味するところは(A)が実数解を持つ場合に(B)の因数分解は
実数の範囲でできるということです。
従って、(A)の解の判別式の正負により、因数分解が実数の範囲でできるか
否かが判定できます。

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■22456

　Re[1]: 微分方程式の問題です

□投稿者/ 豆 -(2007/02/28(Wed) 09:04:04)

32lbの物体にかかる力は重力と速度に比例する抵抗なので、
抵抗の比例定数をkとおけば、運動方程式は
mdv/dt=mg-kv=-k(v-mg/k)
dv/(v-mg/k)=-(k/m)dt
積分して、
v-mg/k=Ce^(-kt/m)　　C：積分定数
t=0のとき、v=0なので、C=-mg/k
∴v=(mg/k)(1-e^(-kt/m))
t→∞とすれば、限界速度v[limit]=mg/k
題意よりこれが、400ft/secなので、
mg/k=400
k/m=g/400
g=9.8(m/sec^2)=9.8/0.305=32.1(ft/sec^2)を代入して、
k/m=0.08=2/25
∴v=400(1-e^(-2t/25))
これを積分して、変位は
x=D+400t+5000e^(-2t/25)　D:積分定数
t=0のときx=100なので、D=100-5000
∴x=100+400t-5000(1-e^(-2t/25))
速度が200ft/secになる時間は
v=200=400(1-e^(-2t/25)とおいて、
t=(25/2)log2

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■22637

　Re[1]: 2次関数

□投稿者/ 迷える子羊 -(2007/03/04(Sun) 23:53:34)

> 放物線y=-x^2＋8x-22を平行移動したもので、点(-3,3)を通り、その頂点がy=x^2上にある2次関数の方程式を求めよ。
> という問題で頂点の座標を(t,t^2)とおくところまでは考えられた
$2$y=-(x-t)^2+t^2$ とおける。これが、点(-3,3)を通るので、
$2$-3=-(3-t)^2+t^2$ これを解いてt=1を得る。

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■22639

　Re[2]: 2次関数

□投稿者/ 迷える子羊 -(2007/03/04(Sun) 23:56:56)

代入を間違えました。済みません。正しくは、
> $2$y=-(x-t)^2+t^2$ とおける。これが、点(-3,3)を通るので、
> $2$3=-(-3-t)^2+t^2$ これを解いて $2$t=-2$ を得る。
です。

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■21609

　Re[3]: 確立の質問です。

□投稿者/ ken -(2007/02/05(Mon) 22:51:21)

Ｑ■No21608に返信(メルさんの記事)
> (n+2)!がどのように出されるのか？
> x+y+z=n-3というのはn≧3から来ているんでしょうか？
> その時(n+1)!がなぜ出てくるのか？
> すいません。全然理解できません。もう少しお願いします。

こんばんわ☆
ちょっと説明しにくいのですが…
少し話を簡単にしてみたいと思います。
たとえば、５個のりんごをＡ、Ｂ、Ｃさんの３人にわけるときを考えます。

１、りんごを一個ももらえない人が出てもいいとき
２、全員がりんごを少なくとも一つもらうとき

１のとき、○をりんごとして仕切り(|)を入れると…
　　　　　
　　Ａ　　Ｂ　Ｃ
　　○○｜○○｜○

この『○と｜』の順列を考えると…
$2$\frac{7!}{5!2!}$ となりますよね？
これが１の分け方となります．

２のときは全員に少なくとも一つなので、
最初からＡさん、Ｂさん、Ｃさんに１つずつりんごを与えます．
すると、残るりんごは２つ．
これを三人に分けるわけ方を考えます．
１と同様に考えて…
　
　ＡＢ　Ｃ
　○｜○｜

この順列は $2$\frac{4!}{2!2!}$
これが、２の答えとなります…

分かりにくい説明ですが…大丈夫でしょうか？？

これを、応用して問題を解きました。

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■22837

　Re[1]: 実数解の個数

□投稿者/ ゼロ -(2007/03/13(Tue) 12:01:31)

f=(x^2+2x-2)e^(-x)
を微分します。

f'=(2x+2-x^2-2x+2)e^(-x)=(-x^2+4)e^(-x)

これが0になるのはx=±2
x<-2,x>2でf'<0 -2<x<2でf'>0
x→-∞でf→∞,x→∞でf→0

よってx<-2で単調減少、x=-2で極小、-2から2の間で増加に転じ、
x=2で極大値、x>2で単調減少となります。

このグラフが描ければあとは解けると思います。

記事No.22746 のレス /過去ログ3より / 関連記事表示
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■22827

　Re[1]: 接線で囲まれた図形の面積

□投稿者/ けにい -(2007/03/12(Mon) 23:58:44)

指数関数 y = e^(ax) の導関数は y' = a e^(ax) なので
x = t における接線の方程式は

y = a e^(at)(x - t) + e^(at)

となります。これが直線 y = bx と一致するためには

b = a e^(at)
e^(at) - at e^(at) = 0

となる必要があります。したがって t = 1/a が得られ、
接線は y = ae x であり、x = 1/a で接することが分かり
ます。今、指数関数よりも接線の方が下にありますから、
囲まれる部分の面積は

S = ∫[0,1/a] { e^(ax) - ae x } dx

となります。

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■22896

　Re[1]: 重積分3題です

□投稿者/ けにい -(2007/03/14(Wed) 16:14:59)

2007/03/14(Wed) 19:51:22 編集(投稿者)

2. まず、xz 平面で |x| + |z| ≦ 1 の形を描いてみると、正方形を 45°
回転させた形になり、これが y 軸方向にびゅーっと伸びた柱になります。
一方、xy 平面で a = 1/3, 1/6, 1/12 の場合で円 $2$(x-2a)^2+y^2=a^2$ を
描いてみてください。そうすれば、原点から円 $2$(x-\frac{2}{3})^2+y^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2$
へ二接線を引いた、とんがり帽子のような領域になります。この領域に
おいて z は x - 1 ≦ z ≦ 1 - x と簡単な関数ですから体積は
$2$V = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} \displaystyle\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}^{\frac{1}{\sqrt{3}}x} (2-2x)\,dy\,dx + \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{1}{9}-(x-\frac{2}{3})^2}} ^{\sqrt{\frac{1}{9}-(x-\frac{2}{3})^2}} (2-2x)\,dy\,dx$
から出るはずです。

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■23104

　Re[1]: 逆関数

□投稿者/ けにい -(2007/03/21(Wed) 12:05:43)

タンジェント tan(x), -π/2 < x < π/2 の逆関数はアークタンジェント
arctan(x) (もしくは atan(x), Tan^-1(x)) で合ってますよ。関数電卓を
使いましょう。手計算ではきつすぎます。

注意すべきは tan(x) の定義域です。もし、定義域が π/2 + nπ (n は整数)
をまたぐような場合 tan(x) は単調関数ではなくなります。その場合、逆関数
は存在しません。もしくは、多価(複数の値をとる)となります。

例えば tan(x) の定義域が R 全体の場合、y の tan による原像(y = tan(x)
を満たす x の全体で逆関数のようなもの)は集合 { arctan(y) + nπ: n は整数 }
になります。これが多価の意味です。

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■23116

　Re[1]: 確率

□投稿者/ nrn -(2007/03/22(Thu) 02:03:13)

文字を使っていても、通常通りの考え方で解けます。

まず、赤球３個、白球ｎ個から２個取り出す方法は
$2$_{3+n}C_2=\frac{(n+3)(n+2)}{2\cdot1}=\frac{(n+3)(n+2)}{2}$

赤球１個、白球１個を取り出す方法は
$2$_3C_1\cdot_nC_1=3n$

よって、求める確立は
$2$\frac{3n}{\frac{(n+3)(n+2)}{2}}=\frac{6n}{(n+3)(n+2)}$

となり、これが $2$\frac{1}{2}$ より大きければよいので
$2$\frac{6n}{(n+3)(n+2)}>\frac{1}{2}$

この不等式を解いて、最大のｎを求めればよいですね。

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■23159

　Re[1]: 図形と式

□投稿者/ X -(2007/03/23(Fri) 18:24:40)

2007/03/23(Fri) 19:46:50 編集(投稿者)

文字化けしないように
x^2+y^2-2kx+2y+4k-2=0・・・(A)
y=k(x-2)・・・(B)
と置き直しておきます。

(1)
(A)を変形すると
(x-k)^2+(y+1)^2=k^2-4k+3
∴これが円の方程式であるためには
k^2-4k+3>0
これを解いて
k<1,3<k
(2)
(1)の過程により、(A)が円である場合の中心の座標は
(k,-1)
条件を満たすためには、これと(B)との距離が(A)の半径より
小さくなればよいので、点と直線との距離の公式により
y=|k(k-2)-(-1)|/√{k^2+(-1)^2}<√(k^2-4k+3)
これより
|k^2-2k+1|/√(k^2+1)<√(k^2-4k+3)
(k-1)^2<√{(k^2+1)(k-1)(k-3)}
∴
k<1,3<k (C)
かつ
(k-1)^4<(k^2+1)(k-1)(k-3) (D)
(D)より
(k-1)(k+1)<0
∴-1<k<1
(C)との共通領域を取って
-1<k<1
よって求める領域は
直線
y=x-2
y=-x+2
を境界とする、原点と点(3,0)を含む側の領域（境界含まず）
となります。

記事No.23156 のレス /過去ログ3より / 関連記事表示
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■23244

　Re[1]: 図形と方程式

□投稿者/ X -(2007/03/26(Mon) 10:40:43)

2007/03/26(Mon) 11:12:38 編集(投稿者)

円Cの半径をr,中心をSとすると、Sの座標は
(t,(4/3)t-3)
と置けますのでCの方程式は
(x-t)^2+(y-(4/3)t-3)^2=r^2 (A)
これが２点A(-1,4),B(7,2)を通るので
(-1-t)^2+(4-(4/3)t-3)^2=r^2 (B)
(7-t)^2+(2-(4/3)t-3)^2=r^2 (C)
(B)(C)を連立して解いてt,rを求めます。
(まず(B)-(C)を計算してみましょう)
得られた解を(A)に代入して、Cの方程式を求め
残りの条件
∠PAQ=45°
を満たすか確かめます。
これは円周角により
∠PSQ=90°
つまり
PS⊥QS (D)
ですので、先程求めたCの方程式からP,Q,Sの座標を求め
(D)を確かめます。
（直線PS,QSの傾きに対する垂直条件を確かめるのもよいですが
ここは、三平方の定理を使って
△PQSが∠PSQ=90°の直角三角形
であることを確かめたほうが簡単なようです。）

記事No.23242 のレス /過去ログ3より / 関連記事表示
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■23194

　Re[1]: 図形

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/03/25(Sun) 03:35:41)

けいこさん，こんばんわ．

> ∠A＝60°の鋭角三角形ABCの外心をO、内心をIとする。４点O,I,B,Cは一つの円周上にあることを証明せよ。
>
> こういう問題なんですがどう書けばいいのかわかりません。
> なんとなく図を描けばわかりますが「なぜ」かがわかりません。。。
>
> 私立中の３年生です。
>
> 教えてください

ポイントは，
$2$ \angle{BOC}=\angle{BIC}$
を示すことになるかと思います．これが示せれば円周角の定理の逆より， $2$O,I,B,C$ は同一円周上にあることになります．では，示して見ましょう．

円周角の定理より，
$2$\angle{BOC} = 60\times 2 = 120$ ……①

また， $2$I$ は内心であることから，
$2$\angle{IBC} = \angle{IBA}$ ……②
$2$\angle{ICB} = \angle{ICA}$ ……③
②③を，
$2$\angle{B}+\angle{C}=180-60=120$
つまり，
$2$\angle{IBC}+\angle{IBA}+\angle{ICB}+\angle{ICA}=120$
に代入すると，
$2$2\times \angle{IBC}+2\times \angle{ICB}=120$
$2$\therefore \angle{IBC}+\angle{ICB}=60$
であるから，
$2$\angle{BIC}=180-\angle{IBC}-\angle{ICB}=120$ ……④

①④より，
$2$\angle{BOC}=\angle{BIC}(=120)$
となり，円周角の定理の逆より， $2$4$ 点 $2$O,I,B,C$ は同一円周上にあることが示された．

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■23256

　因数分解の問題なんですが・・・

□投稿者/ けん -(2007/03/26(Mon) 19:11:26)

x^2＋（4－a）x＋4－2a<0この問題がよくわからないので,出来るだけ分かりやすく解説していただければ幸いです。これが出来ないと最後まで問題が解けないもんですから・・・。

(携帯)

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■23396

　Re[1]: 図形と方程式

□投稿者/ miyup -(2007/03/29(Thu) 23:59:44)

2007/03/30(Fri) 00:01:19 編集(投稿者)

■No23392に返信(巡査部長さんの記事)
> F:y=x^2、A(p,q)（ただし、q>p^2…①）とする。
> Aを通る、y軸と平行でない直線LとFの２交点をP,Qとすると、①を満たす任意のp,qに対して、AがPQの中点となるような２点P,Qが存在することを示せ。
①は点ＡがＦの上側（放物線の「内側」）にあることを示しています。
点Ａを通り傾きｍの直線は、y=m(x-p)+q…②
この直線とＦとの２交点のｘ座標は、x^2=m(x-p)+q すなわち x^2-mx+mp-q=0 の２解。
この２解をα,βとおくと、解と係数の関係より、α+β＝m
よって２交点の中点のｘ座標は (α+β)/2=m/2 で、これが p と等しいとき m/2=p
すなわち m=2p で、①を満たす任意の p を与えると傾き m が決まり、②が確定する。
このことは、点Ａを与えるとそれが中点になるような直線を必ず作れることを意味する。
よって、点AがPQの中点となるような２点P,Qが存在するといえる。

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