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■20204

　Re[1]: 体積

□投稿者/ ウルトラマン -(2006/12/22(Fri) 23:56:21)

ともこさん，こんばんわ．

> xz平面上の曲線z=x^2(|x|≦2)をｚ軸のまわりに回転させてxyz空間にできる回転体の容器を考える。
> (1)この容器の体積を求めよ。

これはサービス問題です． $2$z$ 軸の回転体の体積なので，
$2$ V_{1}=\displaystyle\int_{0}^{4}x^{2}dz \\ =\displaystyle\int_{0}^{4}zdz \\ =[\frac{1}{2}z^{2}]_{0}^{4} \\ =8$

となります．
> (2)この容器に水を満たし半径１の鉄球を沈めていく。鉄球が容器の壁に接触して
> 　　安定したとき、鉄球の中心のz座標を求めよ。

これは， $2$xz$ 平面で切ったときの状態を考えましょう．すると，鉄球の中心の座標を $2$(0,0,a)$ とおくと，鉄球の切断面（円）の方程式は，
$2$ x^{2}+(z-a)^{2} = 1$
と書けますから，これと
$2$ z=x^{2}$
より， $2$x^{2}$ を消去して，
$2$ z+(z-a)^{2} = 1 \\ \Longleftrightarrow z^{2}-(2a-1)z+(a^{2}-1)=0$
となり，鉄球と放物面が接するための必要十分条件は，これが $2$z>0$ の範囲に重回をもつことであるから，
$2$ 2a-1>0,\quad D=(2a-1)^{2}-4(a^{2}-1)=0 \\ \Longleftrightarrow a>\frac{1}{2},\quad -4a=-5 \\ \Longleftrightarrow a=\frac{5}{4}$
よって，鉄球の中心の座標は，
$2$ \left(0,0,\frac{5}{4}\right)$
となります．

> (3)鉄球により容器の底に閉じ込められた水の部分の体積を求めよ。

(2)のとき，円と放物線の接点の $2$z$ 座標は，
$2$ z^{2}-\frac{3}{2}z + \frac{9}{16} = 0 \\ \Longleftrightarrow \left(z-\frac{3}{4}\right)^{2}=0 \\ \Longleftrightarrow z=\frac{3}{4}$
であるから，求める体積は，
$2$ V_{2} = \displaystyle\int_{0}^{3/4}x^{2}dz - \displaystyle\int_{3/4}^{5/4}\left\{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}\right\}dz \\ =\cdots\cdots$
ってな感じで求めればよいです．

>
> どのようにすればよいのでしょうか？？
> どなたかお願いします。

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■20206

　円周率のπが抜けてましたΣ(￣ロ￣lll)

□投稿者/ ウルトラマン -(2006/12/23(Sat) 00:56:09)

■No20204に返信(ウルトラマンさんの記事)
> ともこさん，こんばんわ．
>
>>xz平面上の曲線z=x^2(|x|≦2)をｚ軸のまわりに回転させてxyz空間にできる回転体の容器を考える。
>>(1)この容器の体積を求めよ。
>
> これはサービス問題です． $2$z$ 軸の回転体の体積なので，
> $2$ V_{1}=\displaystyle\int_{0}^{4}x^{2}dz \\ =\displaystyle\int_{0}^{4}zdz \\ =[\frac{1}{2}z^{2}]_{0}^{4} \\ =8$
>
> となります．

すみません．円周率の $2$\pi$ が抜けてました．

正しくは，

$2$ V_{1}=\pi\displaystyle\int_{0}^{4}x^{2}dz \\ =\displaystyle\int_{0}^{4}zdz \\ =\pi[\frac{1}{2}z^{2}]_{0}^{4} \\ =8\pi$
です．

>>(2)この容器に水を満たし半径１の鉄球を沈めていく。鉄球が容器の壁に接触して
>>　　安定したとき、鉄球の中心のz座標を求めよ。
>
> これは， $2$xz$ 平面で切ったときの状態を考えましょう．すると，鉄球の中心の座標を $2$(0,0,a)$ とおくと，鉄球の切断面（円）の方程式は，
> $2$ x^{2}+(z-a)^{2} = 1$
> と書けますから，これと
> $2$ z=x^{2}$
> より， $2$x^{2}$ を消去して，
> $2$ z+(z-a)^{2} = 1 \\ \Longleftrightarrow z^{2}-(2a-1)z+(a^{2}-1)=0$
> となり，鉄球と放物面が接するための必要十分条件は，これが $2$z>0$ の範囲に重回をもつことであるから，
> $2$ 2a-1>0,\quad D=(2a-1)^{2}-4(a^{2}-1)=0 \\ \Longleftrightarrow a>\frac{1}{2},\quad -4a=-5 \\ \Longleftrightarrow a=\frac{5}{4}$
> よって，鉄球の中心の座標は，
> $2$ \left(0,0,\frac{5}{4}\right)$
> となります．
>
>>(3)鉄球により容器の底に閉じ込められた水の部分の体積を求めよ。
>
> (2)のとき，円と放物線の接点の $2$z$ 座標は，
> $2$ z^{2}-\frac{3}{2}z + \frac{9}{16} = 0 \\ \Longleftrightarrow \left(z-\frac{3}{4}\right)^{2}=0 \\ \Longleftrightarrow z=\frac{3}{4}$
> であるから，求める体積は，
> $2$ V_{2} = \displaystyle\int_{0}^{3/4}x^{2}dz - \displaystyle\int_{3/4}^{5/4}\left\{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}\right\}dz \\ =\cdots\cdots$

すみません．これもπ抜けです．正しくは，
$2$ V_{2} = \pi\displaystyle\int_{0}^{3/4}x^{2}dz - \pi\displaystyle\int_{3/4}^{5/4}\left\{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}\right\}dz \\ =\pi\displaystyle\int_{0}^{3/4}zdz - \pi\displaystyle\int_{3/4}^{5/4}\left\{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}\right\}dz \\ =\cdots\cdots$
ってな感じです．

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■20266

　Re[1]: 直線

□投稿者/ サボテン -(2006/12/25(Mon) 10:08:03)

まず、なぜ直線を表すかということですが、
(ax+by+c)(dx+ey+f)=0と因数分解できれば、直線の式になります。

そこで解の公式を用いて因数分解できるかどうか調べてみます。
xの方程式と見ても良いし、yの方程式と見ても良いのですが、
ここでは答えに沿ってyの方程式としてみます。

すると、
2y^2+(kx-4)y+10x^2-9x+2=0
因数分解できるためには判別式が何かの2乗の形になってなければいけません。
そこで判別式を調べると、

D=(kx-4)^2-8(10x^2-9x+2)=(k^2-80)x^2+(72-8k)x

これが(ax+b)^2の形になるためには72-8k=0でなければなりません。
よってk=9

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■20371

　大学入試

□投稿者/ takayuki -(2006/12/28(Thu) 21:32:02)

赤本にのっていた問題なんですが、解法がわかりません。
おしえてください☆

半径がｒである半円の直径ＡＢに垂直な半径ＯＰを引き、次にＡからＯＰを直径
とする円Ｏ′に接線ＡＤを引き、これが半円周と交わる点をＣとする。

接線ＡＤがＯＰの延長と交わる点をＥ、さらにＤＥ＝χとすると、χ＝○／○ｒ
であり、△ＡＢＣの面積は○○／○○ｒｒである。

<注意>

○(まる)にゎ０～９までの数字一つに対応します。
ｒｒとゎ〔ｒの二乗〕の事です。

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■20385

　Re[1]: 大学入試

□投稿者/ 白拓 -(2006/12/28(Thu) 23:51:42)

> 半径がｒである半円の直径ＡＢに垂直な半径ＯＰを引き、次にＡからＯＰを直径
> とする円Ｏ′に接線ＡＤを引き、これが半円周と交わる点をＣとする。
>
>
> 接線ＡＤがＯＰの延長と交わる点をＥ、さらにＤＥ＝χとすると、χ＝○／○ｒ
> であり、△ＡＢＣの面積は○○／○○ｒｒである。

∠O'AB=θとする。
tanθ=(r/2)/r=1/2
tan(2θ)=2tanθ/(1-tan^2(θ))=4/3
χ=DE=r*tan(2θ)=(4/3)r
△ＡＢＣの面積=(1/2)(2r*cos(2θ))(2r*sin(2θ))
=2r^2*tan(2θ)/(1+tan^2(2θ))=(24/25)r^2

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■20430

　Re[1]: 導関数

□投稿者/ ウルトラマン -(2006/12/29(Fri) 17:58:42)

■No20427に返信(舞さんの記事)
> 2次関数f（x）の一つの原始関数F（x）がxf（x）‐2x^3+3x^2に等しくf（1）＝0のときf（x）を求めよ。
> 誰か助けてください。
>

$2$ f(x)=ax^{2}+bx+c\quad (a\ne 0)$
とおくと， $2$f(x)$ の一つの原始関数は
$2$ F(x) =\displaystyle\int f(x)dx \\ =\frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}+cx$
であるから，
$2$ F(x) = xf(x)-2x^3+3x^2 \\ \Longleftrightarrow \frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}+cx = x(ax^{2}+bx+c)-2x^{3}+3x^{2} \\ \Longleftrightarrow \frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}+cx = (a-2)x^{3}+(b+3)x^{2}+cx$
これが恒等的に成立するための条件は，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3}a = a-2 \\ \frac{1}{2}b = b+3 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow a = 3, \quad b=-6$
また，
$2$ f(-1)=0 \\ \Longleftrightarrow a-b+c=0 \\ \Longleftrightarrow 3-(-6)+c=0 \\ \Longleftrightarrow c=-9$
であるから，
$2$ f(x)=3x^{2}-6x-9$
ってな感じでしょうか．．．

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■20619

　Re[3]: 一般項を求めよ！！

□投稿者/ miyup -(2007/01/04(Thu) 22:21:01)

■No20617に返信(中居さんの記事)
> ありがとうございます。
> なるほど。『たとえば、』ということは他にも表し方があるってことですか？？
他にあるかもしれません。これが唯一の解かどうかわかりません。
特に三角関数だと同じ式がいろいろ形を変えますので。
> あとそういうのを見つけるのはひらめきですか？？
1,0,-1 あたりの組み合わせでなんとかならないか考えました。
この値は三角関数に出てくるので、９０°の整数倍かな…と考えたらうまくいきました。

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■20609

　Re[5]: 曲面で囲まれる体積

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/04(Thu) 19:40:47)

digiさん，こんばんわ．

えぇ～と，僕が書いた高校生風（？）の解答に関しては，理解できておりますでしょうか？

高校生風（？）の解答が理解できているのなら，この高校生風の解答を３重積分による解答に翻訳するのは容易です．

では，いきますよぉ！

まず，求める立体の体積は，
$2$ V = \iiint_{x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0, \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq 1} dxdydz$
と書けることに関してはＯＫでしょうか？

これが納得できたら， $2$z$ に関する積分は後回しにして， $2$x,y$ に関する積分を実行しましょう．すると，

$2$ \displaystyle\int_{0}^{1} dz \iint_{x\geq 0, y\geq 0, \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 1-\sqrt{z}} dxdy$
となります．さらに， $2$x,y$ に関する積分を一気に実施することは出来ないので， $2$y$ に関する積分は後回しにしましょう．すると，
$2$ \displaystyle\int_{0}^{1}dz \displaystyle\int_{0}^{(1-\sqrt{z})}^{2}dy \displaystyle\int_{0}^{(1-\sqrt{y}-\sqrt{z})^{2}}dx$
となります．

以上，ここまでは理解できますでしょうか？

この辺が理解できないようでしたら，もう一度，digiさんが大学の授業で使っている解析学の教科書を読んで，多重積分の計算方法を勉強しなおされることを推奨します．

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■20746

　高校　数１　二次関数

□投稿者/ Apple -(2007/01/07(Sun) 21:35:31)

新年あけましておめでとうございます。今年最初の質問です。今年も宜しくお願いします。

問題
f(x)=5x^2-4ax+a^2-13
f(x)がx=4で最小となるのはa=??のときで、そのときの最小値は?である。

答：a=10, 最小値=7

解法：
f(x)=5(x-2a/5)^2+a^2/5-13に変形して、これがx=4になるので2a/5=4でa=10
a=10を代入して最小値を出す。

質問：この問題で私は最初からx=4を代入してf(4)=a^2-16a+67とし、これを変形して(a-8)^2+3と考え、a=8、最小値=3と考えてしまいました。これは問題の意図を把握できていないからだと思うのですが、私は何を勘違いしているのでしょうか？
また、この問題が「f(4)が最小となるのはa=??のときで、そのときの最小値は?である。」という問題であったなら私が勘違いした方が正解になるのでしょうか？

「f(x)がx=4で最小となるのは」と「f(4)が最小となるのは」は根本的に違う問いであると考えていいのでしょうか？

宜しくお願いします。

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■20747

　Re[1]: 高校　数１　二次関数

□投稿者/ miyup -(2007/01/07(Sun) 21:41:37)

2007/01/07(Sun) 21:42:22 編集(投稿者)

■No20746に返信(Appleさんの記事)
> 問題
> f(x)=5x^2-4ax+a^2-13
> f(x)がx=4で最小となるのはa=??のときで、そのときの最小値は?である。
>
> 答：a=10, 最小値=7
>
> 解法：
> f(x)=5(x-2a/5)^2+a^2/5-13に変形して、これがx=4になるので2a/5=4でa=10
> a=10を代入して最小値を出す。
>
> 質問：この問題で私は最初からx=4を代入してf(4)=a^2-16a+67とし、これを変形して(a-8)^2+3と考え、a=8、最小値=3と考えてしまいました。これは問題の意図を把握できていないからだと思うのですが、私は何を勘違いしているのでしょうか？
> また、この問題が「f(4)が最小となるのはa=??のときで、そのときの最小値は?である。」という問題であったなら私が勘違いした方が正解になるのでしょうか？
>
> 「f(x)がx=4で最小となるのは」と「f(4)が最小となるのは」は根本的に違う問いであると考えていいのでしょうか？
f(x) の最小値（この場合は頂点のｙ座標）と f(4) の最小値は違います。

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■20867

　ベクトルです。

□投稿者/ リュウ -(2007/01/10(Wed) 11:19:31)

空間において一辺の長さが１の正四面体OABCがある。
底辺の三角形ABC内に点Pがあり、内積についての条件
→　→
OP・OA＝5/8

→　→
OP・OB＝3/4をみたしている。

　→
①OPをベクトルOA、OB、OCを用いて求めよ。

②線分OPの長さを求めよ。

③2点A、Pを通る直線と線分BCの交点をQとするとき、BQ/CQを求めよ。

これが解りません。
解法をおねがいします！

(携帯)

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■20981

　Re[2]: 微分方程式の解法教えてください。

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/14(Sun) 19:27:22)

わんわんさん，こんばんわ．

>>次の微分方程式です
>>
>>　dy/dx＋aｙ＝cos(bx)
>>
>> ただしa,bは実数でa≠0です

まず，同次方程式：
$2$ \frac{dy}{dx}+ay=0$
の解を求めると，
$2$ \frac{dy}{dx} = -ay$
より，
$2$ y=Ce^{-ax}$
です．

次に，非同次方程式：
$2$ \frac{dy}{dx}+ay = \cos (bx)$
の特殊解を求めます．特殊解を
$2$ y=C_{1}\sin (bx)+C_{2}\cos (bx)$
とおくと，
$2$ bC_{1}\cos (bx)-bC_{2}\sin (bx)+a(C_{1}\sin (bx)+C_{2}\cos (bx))=\cos (bx) \\ \Longleftrightarrow (bC_{1}+aC_{2}-1)\cos (bx)+(-bC_{2}+aC_{1})\sin (bx)=0$
これが恒等的に成立するための条件は $2$\cos (bx),\sin (bx)$ の独立性より，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} bC_{1}+aC_{2} = 1 \\ aC_{1}-bC_{2} = 0 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow C_{1}=\frac{b}{a^{2}+b^{2}},\quad C_{2}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}$
よって，同次方程式と特殊解の重ね合わせより，
$2$ y=Ce^{-ax}+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\sin (bx)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\cos (bx)$
となります．

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■20983

　Re[2]: 微分の演習問題

□投稿者/ 数 -(2007/01/14(Sun) 20:51:23)

miyupさん、解説ありがとうございます！！助かります。返事が遅くなりすみません。。。
ちょっと解説について質問があるんですけども、

y=f(x) と y=loga/a=f(a) の共有点を考えて、a^x=x^a となる正の数xは
0＜a≦1, a＝e のとき１つ、1＜a＜e, e＜a のとき２つ。

とありますが、これがどのようにして分かったのかが、わからないのですが・・・
y=f(x) と y=loga/a=f(a)のグラフは全く一緒になるのですか？？
質問ばっかりですみません・・・！

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■20985

　Re[3]: 微分の演習問題

□投稿者/ miyup -(2007/01/14(Sun) 21:05:30)

■No20983に返信(数さんの記事)
> miyupさん、解説ありがとうございます！！助かります。返事が遅くなりすみません。。。
> ちょっと解説について質問があるんですけども、
>
> y=f(x) と y=loga/a=f(a) の共有点を考えて、a^x=x^a となる正の数xは
> 0＜a≦1, a＝e のとき１つ、1＜a＜e, e＜a のとき２つ。
>
> とありますが、これがどのようにして分かったのかが、わからないのですが・・・
> y=f(x) と y=loga/a=f(a)のグラフは全く一緒になるのですか？？
> 質問ばっかりですみません・・・！
y=loga/a=f(a) は、右辺が定数になりますので、ｘ軸に平行な直線になります。
書き方としては、x=a における y=logx/x 上の点をとり、その点でｘ軸に平行な直線を書くことになります。
a を 0 から順に増やしていくと、直線 y=loga/a が下の方から上へ上がっていき、
極大点で一番上になり、その後下がって（ｘ軸に近づいて）いきます。
そして y=logx/x との共有点の個数を見ていくことになります。

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■20965

　Re[1]: 微分に関する問題

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/14(Sun) 14:11:49)

数さん，こんばんわ．

> aを0でない実数とする。
> 2つの曲線 y=e^x および y=ax^2
> の両方に接する直線の本数を求めよ。

$2$y=e^{x}$ ……①より， $2$y'=e^{x}$ であるから，①上の点 $2$(t,e^{t})$ での接線の方程式は，
$2$y=e^{t}(x-t)+e^{t}\Longleftrightarrow y=e^{t}x+e^{t}(1-t)$ ……①と書けて，これが $2$y=ax^{2}$ ……②と接する条件は①と②より $2$y$ を消去した方程式
$2$e^{t}x+e^{t}(1-t)=ax^{2}$
$2$\Longleftrightarrow ax^{2}-e^{t}x-e^{t}(1-t)=0$ ……③が重解をもつことで，
$2$ D = e^{2t}+4ae^{t}(1-t) = 0 \\ \Longleftrightarrow e^{t}+4a(1-t)=0$
$2$\Longleftrightarrow a = \frac{e^{t}}{t-1}\equiv g(t)$ ……④
よって，④の実数解の個数を調べればよいので， $2$g(t)$ の増減を調べると，
$2$ g'(t) = \frac{e^{t}(t-1)-e^{t}}{(t-1)^{2}} \\ =\frac{e^{t}(t-2)}{(t-1)^{2}} \\$
これと
$2$ \lim_{t\to -\infty}g(t)=0 \\ \lim_{t\to 1-0}g(t)=-\infty \\ \lim_{t\to 1+0}g(t)=\infty \\ \lim_{t\to \infty}g(t)=\infty$
ならびに， $2$g(t)$ は $2$t=2$ で極小値をとることを考えると，④の実数解は次のように変化する．つまり，

(i) $2$t>2$ のとき， $2$2$ 本
(ii) $2$t=2$ のとき， $2$1$ 本
(iii) $2$0\leq t<2$ のとき， $2$0$ 本
(iv) $2$t<0$ のとき， $2$1$ 本

が答え．

> という問題なのですが、これはa>0やa<0のように場合分けしたりして解くのですか？微分をどのように使用するのかがわかりません・・・。
> 助けてください！！！お願いします。

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■20857

　Re[1]: 三次関数の接線

□投稿者/ サボテン -(2007/01/10(Wed) 09:27:00)

(a,b)をとおる直線の方程式は傾きαとして、

y=α(x-a)+bで表されます。
一方三次関数で接するx座標をtとすると、tでの微分係数は3t^2-1なので、
t^3-t=(3t^2-1)(t-a)+b
を満たします。
整理して、
2t^3-3at^2+a+b=0・・・①
これが2つだけ解を持つことが必要です。
つまり重解をもつので、この式をtで微分して、
6t^2-6at=0の解も①の解になります。
この解はt=0,t=a
また①の2解をu,vとすると、接線の直交条件より、(3u^2-1)(3v^2-1)=-1・・・②

1)t=0が重解の時
　①に代入して、a+b=0
2t-3a=0より、もう一つの解はt=3a/2
②に代入して、-1(9a^2/4-1)=-1
a=±2√2/3 あとはa+b=0より、bを求めます。

2)t=aが重解の時
　①に代入して、-a^3+a+b=0
2t^3-3at^2+a^3=0より、もう一つの解はt=-a/2
②に代入して、(3a^2-1)(3a^2/4-1)=-1
この解は虚数解になります。

よって(a,b)=(2√2/3,-2√2/3)(-2√2/3,2√2/3)
計算はお確かめ下さい。

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■21260

　Re[1]: お願いします

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/23(Tue) 23:35:32)

ユイさん，こんばんわ．

> 放物線Ｃと,Ｃ上の点ＡにおけるＣの接線lに対し,Ａを通りlに直交する直線をＡにおけるＣの法線という。
> (1)放物線y=x^2の法線で,(3,0)を通るものを求めよ。

$2$y=x^{2}$ ……①より， $2$y'=2x$ であるから，①上の点 $2$(t,t^{2})$ での法線の方程式は，
$2$ y = -\frac{1}{2t}(x-t)+t^{2} \\ =-\frac{1}{2t}x+t^{2}+\frac{1}{2}$
と書けて，これが $2$(3,0)$ を通るとき，
$2$ 0 = -\frac{1}{2t}\cdot 3 + t^{2}+\frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow 2t^{3}+t-3=0 \\ \Longleftrightarrow (t-1)(2t^{2}+2t+3)=0$
となり $2$t$ は実数であるから， $2$t=1$
よって，求める法線の方程式は，
$2$ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

> (2)t>0とする。放物線y=x^2の法線であり,同時に,放物線y=x^2+tの接線となるものが存在するようなtの範囲を求めよ。

(1)より，①上の点 $2$(a,a^{2})$ での法線の方程式は，
$2$ y= -\frac{1}{2a}x+a^{2}+\frac{1}{2}$
と書けて，これが放物線 $2$y=x^{2}+t$ と接するための条件は，
$2$ x^{2}+t=-\frac{1}{2a}x+a^{2}+\frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow 2ax^{2}+x+(2at-2a^{3}-a)=0$
が実数解を持つことで，
$2$ D = 1-8a(2at-2a^{3}-a) \geq 0 \\ \Longleftrightarrow 16a^{4}-16ta^{2}+8a^{2}+1\geq 0 \\ \Longleftrightarrow 16a^{4}+8a^{2}+1\geq 16ta^{2} \\$
$2$\displaystyle \Longleftrightarrow a^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16a^{2}}\geq t$ ……②
よって，②を満たす実数 $2$a(\ne 0)$ が存在するような $2$t(>0)$ の値の範囲を求めればよい．
相加相乗平均の不等式より，
$2$ a^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16a^{2}} \\ \geq \sqrt{a^{2}\cdot\frac{1}{16a^{2}}}+\frac{1}{2} \\ \geq \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \\ =\frac{3}{4}$
ただし，等号は
$2$ a^{2}=\frac{1}{16a^{2}} \\ \Longleftrightarrow a^{4}=\frac{1}{16} \\ \Longleftrightarrow a^{2}=\frac{1}{4} \\ \Longleftrightarrow a = \pm\frac{1}{2}$
のとき成立するから，求める $2$t(>0)$ の範囲は，
$2$ 0<t\leq\frac{3}{4}$

> という問題です。一橋大学の問題なのですが誰かお願いします。

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■21262

　Re[2]: お願いします

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/24(Wed) 00:22:28)

すみません，ちょっと間違ってました．

★の部分を修正します．

> ユイさん，こんばんわ．
>
>>放物線Ｃと,Ｃ上の点ＡにおけるＣの接線lに対し,Ａを通りlに直交する直線をＡにおけるＣの法線という。
>>(1)放物線y=x^2の法線で,(3,0)を通るものを求めよ。
>
> $2$y=x^{2}$ ……①より， $2$y'=2x$ であるから，①上の点 $2$(t,t^{2})$ での法線の方程式は，
> $2$ y = -\frac{1}{2t}(x-t)+t^{2} \\ =-\frac{1}{2t}x+t^{2}+\frac{1}{2}$
> と書けて，これが $2$(3,0)$ を通るとき，
> $2$ 0 = -\frac{1}{2t}\cdot 3 + t^{2}+\frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow 2t^{3}+t-3=0 \\ \Longleftrightarrow (t-1)(2t^{2}+2t+3)=0$
> となり $2$t$ は実数であるから， $2$t=1$
> よって，求める法線の方程式は，
> $2$ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$
>
>>(2)t>0とする。放物線y=x^2の法線であり,同時に,放物線y=x^2+tの接線となるものが存在するようなtの範囲を求めよ。
>
> (1)より，①上の点 $2$(a,a^{2})$ での法線の方程式は，
> $2$ y= -\frac{1}{2a}x+a^{2}+\frac{1}{2}$
> と書けて，これが放物線 $2$y=x^{2}+t$ と接するための条件は，
> $2$ x^{2}+t=-\frac{1}{2a}x+a^{2}+\frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow 2ax^{2}+x+(2at-2a^{3}-a)=0$
> が実数解を持つことで，

★修正★---------------------------------------------
$2$ x^{2}+t=-\frac{1}{2a}x+a^{2}+\frac{1}{2} \\ \Longleftrightarrow 2ax^{2}+x+(2at-2a^{3}-a)=0$
が重解をもつことで，
$2$ D = 1-8a(2at-2a^{3}-a) = 0 \\ \Longleftrightarrow 16a^{4}-16ta^{2}+8a^{2}+1 = 0 \\ \Longleftrightarrow 16a^{4}+8a^{2}+1 = 16ta^{2} \\$
$2$\displaystyle \Longleftrightarrow a^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16a^{2}} = t$ ……②
----------------------------------------------------

> よって，②を満たす実数 $2$a(\ne 0)$ が存在するような $2$t(>0)$ の値の範囲を求めればよい．
> 相加相乗平均の不等式より，
> $2$ a^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16a^{2}} \\ \geq \sqrt{a^{2}\cdot\frac{1}{16a^{2}}}+\frac{1}{2} \\ \geq \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \\ =\frac{3}{4}$
> ただし，等号は
> $2$ a^{2}=\frac{1}{16a^{2}} \\ \Longleftrightarrow a^{4}=\frac{1}{16} \\ \Longleftrightarrow a^{2}=\frac{1}{4} \\ \Longleftrightarrow a = \pm\frac{1}{2}$
> のとき成立するから，求める $2$t(>0)$ の範囲は，

★修正★---------------------------------------------
$2$ t\geq \frac{3}{4}$
----------------------------------------------------

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■21265

　Re[4]: こんばんわ

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/24(Wed) 01:31:47)

ユイさん，こんばんわ．
> (1)で(3，0)を通るのでの後でどうしてtの3乗がでてくるのですか？
>
> (携帯)

えぇ～と，
点 $2$(t,t^{2})$ での法線の方程式は，
$2$ y=-\frac{1}{2t}x+t^{2}+\frac{1}{2}$
と書けて，これが点 $2$(3,0)$ を通るとき，
$2$ 0=-\frac{1}{2t}\cdot 3+t^{2}+\frac{1}{2}$
上記方程式の両辺に $2$2t(\ne 0)$ をかけてみてください．すると，
$2$ 0 = 2t\left(-\frac{1}{2t}\cdot 3+t^{2}+\frac{1}{2}\right) \\ \Longleftrightarrow 0 = -3+2t\cdot t^{2}+t \\ \Longleftrightarrow 2t^{3}+t-3=0$
となることが分かります．

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■21230

　スカラー場

□投稿者/ digi -(2007/01/23(Tue) 00:17:09)

スカラー場について質問です。

スカラー場で、点P(x, y, z)における等位面の方程式を
$2$\varphi(x,y,z)=c$ ・・・(1)
とする。等位面上の曲線を $2$\vec{a}=(x(t),y(t),z(t))$ とすれば、
$2$\varphi(x(t),y(t),z(t))=c$ ・・・(2)
となる。これは、(1)に(2)のx=x(t),y=y(t),z=z(t)を代入したということですよね？

それで、(2)式の両辺をtで微分すると、
$2$\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\frac{dz}{dt}=0$
となるそうですが、これが良く分かりません。右辺はもちろん分かりますが、左辺は微分したらなぜそれぞれの成分を微分したものの和になるのでしょうか？

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