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■16596

　不等式の変形?・・

□投稿者/ ちょめっこ -(2006/08/25(Fri) 15:05:56)

問:aが0以上の全ての実数を動くとき、
円C:(x-a)^2+(y-a)^2=a^2+2・・・①が動く範囲を図示せよ。

以下は自分の解答なんですがちょっとわからないところがあります。

0以上のaをひとつとると円Cもひとつ決まる。
よって①かつa≧0を満たす実数aが存在すればよい。
つまり①をaについて整理し、変形した{a-(x+y)}^2-2xy-2=0の左辺をaの関数と見て、f(a)とおきf(a)がa≧0に解をもつ条件を考える。
軸の位置によって場合わけして、
(ⅰ)x+y＜0かつf(0)≦0のとき、または
(ⅱ)x+y≧0かつ-2xy-2≦0
これが円Cの動く範囲となる。

ここで(ⅱ)の-2xy-2≦0についてなんですが、x=0のときは、すべてのyについて成立するからy軸上が全て含まれることになってしまいます。円が動く範囲なので明らかに違いますし、答えもここは含んでいません。
f(a)={a-(x+y)}^2-2xy-2の時点でx=0を代入して条件を求めると正しい条件が出てきます。どうして(ⅱ)まで変形してからx=0を代入すると間違った領域が出てきてしまうのでしょうか？
ちなみにこの問題は包絡線の問題として紹介されていたのですが、この解き方でお願いします。
よろしくお願いします。

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■16588

　確率の問題(数学1Ａ)

□投稿者/ きんた -(2006/08/25(Fri) 13:20:17)

確率の問題を考えていたのですが　どうしても答えに自信がないので　わかる方
教えてください。センタ－テストの模試で出されたものです。

問題
1,2,3の数字が書かれたカードが二枚ずつ合計6枚あります。そこでこれらの
カードをＡ君　Ｂ君Ｃ君の三人に二枚ずつ配るとき、持っている二枚のカー
ドの数字が同じである人が一人もいない確率を求めなさい　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正解----(8/15)

二人が同じであることは考えられないので、一人もいないということは　
一人と三人同じである確率の余事象で考えて答案を作りました。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

私の答案　
カ-ドをそれぞれ1a　1b　2a 2b 3a 3b に分類して考えます。
合計の配り方は　6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2＝90通り

三人とも同じ数のカードである確率は
組み合わせは(1a 1b) (2a 2b) (3a 3b)の1通り
これをＡ君　Ｂ君　Ｃ君に配分すれば良いので
3Ｐ3＝6　したがって1×6＝6通り　確率　6/90

一人が同じ数のカードである確率は
例えばＡ君が同じカードで　Ｂ君　Ｃ君が違うカードであるのは
Ａ君(1a 1b)　に対して　Ｂ君(2a 3a) (2a 3b) (2b 3a) (2b 3b)の4通り　
Ｃ君はＢ君が決まれば自動的に決まる

同様にしてＡ君が(2a 2b) に対しても　4通り
同様にしてＡ君が(3a 3b)　に対しても　4通り　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計4×3＝12通り

これがＢ君　Ｃ君についてもいえるので　　　　12×3＝36通り
この確率は　36/90

二人が同じである確率は0　　

よって　求める確率は　1-(6／90)-(36/90)＝　48／90＝　8／15------(答)

確率の問題でこれであっているかどうか今ひとつ確信がもてないです。
合っているのなら　もっとスマ－トなとき方はないでしょうか？

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■16741

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ miyup -(2006/08/28(Mon) 18:42:44)

2006/08/28(Mon) 18:43:16 編集(投稿者)

■No16740に返信(やくみつさんの記事)
> ３≦２a＋b≦４、　５≦３ａ＋２ｂ≦６のとき、次の取り得る値の範囲を求めよ、
>
> ①ａ　②ｂ　③ａ＋ｂ　④ａ＋ｂ／２ａ＋ｂ　という問題で、④が、わかりません。

領域として図示してみてはどうでしょうか。

a,b を x,y とみれば、a-b 平面に条件の領域が描かれます。

(a+b)/(2a+b)=k とおけば、k≠1/2, 1 より
b=(2k-1)/(1-k)a で、傾き(2k-1)/(1-k)、原点を通る直線となり、これが条件の領域と共有点を持つような傾きの範囲を答えればよい。

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■16745

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ やくみつ -(2006/08/28(Mon) 19:05:18)

■No16741に返信(miyupさんの記事)
> 2006/08/28(Mon) 18:43:16 編集(投稿者)
>
> ■No16740に返信(やくみつさんの記事)
>>３≦２a＋b≦４、　５≦３ａ＋２ｂ≦６のとき、次の取り得る値の範囲を求めよ、
>>
>>①ａ　②ｂ　③ａ＋ｂ　④ａ＋ｂ／２ａ＋ｂ　という問題で、④が、わかりません。
>
> 領域として図示してみてはどうでしょうか。
>
> a,b を x,y とみれば、a-b 平面に条件の領域が描かれます。
>
> (a+b)/(2a+b)=k とおけば、k≠1/2, 1 より
> b=(2k-1)/(1-k)a で、傾き(2k-1)/(1-k)、原点を通る直線となり、これが条件の領域と共有点を持つような傾きの範囲を答えればよい。　

返信有難うございます。正直、頭が、悪く、領域がわかりません。解説では、２ａ＋ｂ＝Ｐ　、３ａ＋２ｂ＝ｑとして、解説途中では、５／４≦ｑ／Ｐ≦６／３となるのですが、「ｑ／Ｐ」なら、５／３≦ｑ／Ｐ≦６／４には、なぜならないのか。たびたびすいません。

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■16796

　Re[1]: 教えてください

□投稿者/ KINO -(2006/08/29(Tue) 15:34:58)

塔から30m離れた地点をA，塔の先端を B，塔の立っている位置を C とおくと，塔は地面に垂直に立っているでしょうから，三角形ABC において，角BCAは直角です。
また角BAC が仰角に相当し，これが60度ですから，三角形ABCは AB:BC:CA=2:√3:1 の直角三角形になります。
CA=30m ですから，BC=√3 *30 m です。
あとは √3=1.732 として計算すればいいでしょう。

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■16697

　指数・対数に関する計算の問題です。

□投稿者/ るな -(2006/08/27(Sun) 21:21:37)

下の問題がわからないので、どなたか教えて下さい。

log_{10}2=0/3010,log_{10}3=0.4771とする。
(1)(1/45)^(54)で、小数点以下最初に０でない数字が現れるのは、小数第90位で、その数字は何か。
(2)18^(18)は23桁の数で、最高位の桁の数字は何か。
という問題です。

まず(1)からよろしくお願いします。
答えのところに(1/45)^(54)=10^(0.7272)*10^(-90)
と載っていたのですが、これがどこから出てきたのかわかりません。
お願いします。

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■16708

　Re[1]: 指数・対数に関する計算の問題です。

□投稿者/ miyup -(2006/08/27(Sun) 23:39:02)

2006/08/27(Sun) 23:42:53 編集(投稿者)

■No16697に返信(るなさんの記事)
> log_{10}2=0/3010,log_{10}3=0.4771とする。
> (1)(1/45)^(54)で、小数点以下最初に０でない数字が現れるのは、小数第90位で、その数字は何か。
>
> 答えのところに(1/45)^(54)=10^(0.7272)*10^(-90)
> と載っていたのですが、これがどこから出てきたのかわかりません。

log[10](1/45)^(54)
=-54log[10]45
=-54log[10](3^2*10/2)
=-54(2log[10]3+1-log[10]2)
=-89.2728
=-90+0.7272 より、(1/45)^(54)=10^(0.7272)*10^(-90)。

ここで、log[10]5=0.6990 < 0.7272 < 0.7781=log[10]6 より
10^log[10]5 < 10^0.7272 < 10^log[10]6
よって、5 < 10^0.7272 < 6

小数点以下最初に０でない数字が現れるのは、小数第90位で、その数字は 5。

> (2)18^(18)は23桁の数で、最高位の桁の数字は何か。

log[10]18^18=…=22.5936
ここで、log[10]3=0.4771 < 0.5936 < 0.3010*2=log[10]4 より 3 < 10^0.5936 < 4
よって、最高位の数字は 3。

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■16849

　Re[2]: 文章変でした

□投稿者/ Ｎ -(2006/08/30(Wed) 08:26:20)

考え方はそれでいいと思います。
後はそれを、背理法（多分これがベストでしょう）の方法で証明して完成としてください。

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■16826

　Re[1]: 数Ⅱ・B

□投稿者/ miyup -(2006/08/30(Wed) 00:15:52)

2006/08/30(Wed) 08:20:59 編集(投稿者)
2006/08/30(Wed) 00:31:23 編集(投稿者)

■No16824に返信(まおさんの記事)
> 円C:x^2+y^2=36に点Qをとる。
> 点Qと定点A(2，4)を結ぶ線分AQの中点をPとする。
>
> ①点Qの座標を(s，t)とするとき、点Pの座標(x，y)をs，tで表せ。

A(2, 4) と Q(s, t) をたして２で割ると P(x, y) ですね。x=, y= の式を作りましょう。

> ②点Qが円C上を動く時、点Pの軌跡を求め、図示せよ。

Q(s, t) は円周上の点より、s^2+t^2=36 になります。
これに①の式を、s=, t= として代入・整理すると、円の式ができます。これが点Pの軌跡です。

> ③線分OPの長さが最大および最小になるときの点Pの座標をそれぞれ求めよ。 (ただし、Oは原点を表す)

②の円の中心を点Ｒとおいて、直線ＯＲを引くと、②の円と２点で交わります。
点Ｏに近い方を点Ｒ1, 遠い方を点Ｒ2 とおくと、ＯＰの最小＝ＯＲ1、最大＝ＯＲ2 です。

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■16861

　Re[1]: 数Ⅱ・B

□投稿者/ satsuma -(2006/08/30(Wed) 15:04:32)

> (1)t＝sinθ－cosθとおくとき、yをtで表せ。
> (2)tの最大値および最小値を求めよ。
> (3)yの最小値をbとする。この時、bをaの関数f(a)として表せ。
> (1)はなんとなくわかるような気がするんですが、－2sinθcosθをどうやってtにもちこめばいいのかがわかなくて…。

t＝sinθ－cosθの両辺を二乗すると、t^2＝(sinθ)^2+(cosθ)^2 - 2sinθcosθ
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1なので・・・－2sinθcosθが出ますね。
これが分かればあとはある程度すんなりと行くはずです。

（(2)は三角関数の合成です。。）

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■16862

　Re[1]: 教えてください！

□投稿者/ 平木慎一郎 -(2006/08/30(Wed) 15:08:14)

■No16858に返信(ＯＪさんの記事)
> 商品Ａの原価に対して、２８．６％の利益をみこんで￥４５，０００の定価が付けてあります。この商品Ａの原価はいくらになりますか？
> 解き方を教えてください。よろしくお願いします。
利益を見込んで定価を定めるということはご理解いただけますか？
その原価の28.6%分だけその原価に付け足して売るということです。
方程式風に書けば、原価をA円としますと、定価は
$2$A+A\times\frac{28.6}{100}$ となりますね。よく見る解答では
$2$A(1+\frac{28.6}{100})$ となっていると思います。
これが45000に等しくなるのですから、Aが求められますね。

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■16815

　また質問です。お願いいたします。

□投稿者/ るな -(2006/08/29(Tue) 22:10:50)

下の問題がわからないのでよろしくお願いします。

xについての方程式9^x+2a*3^x+2a^2+a-6=0が正の解、負の解を１つずつもつとき、定数aのとりうる値の範囲を求めよ。
という問題です。

私は3^x=tとおいて
t^2+2at+2a^2+a-6=0
とおいたのですが、この先どうしてよいかわかりませんでした。
答えの部分には
f(0)=2a^2+a-6>0
f(1)=2a^2+3a-5<0
という条件が載っていました。
しかしどうしてこれが答えにつながっていくかが分かりません。
よろしくお願いします。

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■16955

　Re[1]: 積分です

□投稿者/ laki -(2006/08/31(Thu) 21:14:32)

■No16953に返信(くうさんの記事)

> x/(√x^2+4)と1/(√x^2+4)に分けて計算する所まではわかったのですが、
> x/(√x^2+4)の置換積分の方法がわかりません。
> どうぞよろしくお願いします。

x^2+4=tとおくとできます。
2xdx=dtより

∫x/√(x^2+4)dx=∫x/√t*(1/2x)dt=1/2∫1/√tdt

ちなみに置換公式
∫g'(x)f(g(x))dx=∫{F(g(x))}'dxに慣れていれば、
√の中身x^2+4の微分は2xであり、これが分子部分にあることから
g(x)=x^2+4と気づけ、g(x)を無視して、
外枠のf(x)=1/√(‥)の部分を積分すると、係数×√(‥)
となることが予想できるので、
答えは、√(x^2+4)の係数倍になると見積もって、
実際に微分してみて、{√(x^2+4)}'=x/√(x^2+4)となることから

∫x/√(x^2+4)dx=∫(√x^2+4)'dx=√(x^2+4)
はほとんど暗算です。

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■16925

　Re[5]: ガウス

□投稿者/ KINO -(2006/08/31(Thu) 07:24:21)

(1) について。
改めて見直して気付いたのですが，

> (1) $2$a_n+1$ ≦ $2$a_{n+1}$ ≦ $2$a_n+2$ を示せ。
>
> という問題で、
> $2$a_n+1=[1.03n+1.03]$ ≦ $2$[1.03n+2]=[1.03n]+2=a_n+2$

の部分の $2$a_n+1=[1.03n+1.03]$ は等式ではなく， $2$a_n+1\le [1.03n+1.03]$ という不等式のはずです。そうでなければ $2$a_n+1=a_{n+1}$ が必ず成り立つことになってしまいます。

(2) について。
「３行」程度で終わる「スマート」な解答はこんな感じでしょうか。

条件は [0.03(n+1)]=[0.03n]+1 が成り立つ最小の n を求めることと同値である。
1≦n≦33 なる n に対し [0.03*n]=0 で，[0.03*34]=1 であるから，
このような n は 33 である。

> ただ、やっぱり解答のやりかたも気になります。

僕の解説と，模範（？）解答は本質的に同じ内容であると思います。
というより，No.16875 で
> 模範解答を無視してこう考えてはいかがでしょうか。
と書いたのは不適切で，正しくは
「模範解答を参考に自分なりに再構成したら次のようになりました。」
とすべきでした。

> 解答はたった３行で済ませているので、ちょっとスマートすぎて私には理解しがたいのかなとは思いますが、

ご安心下さい。少なくとも私にとっても理解しがたいです。

さて，模範解答を理解しようとする試みは徒労に終わりそうだと思われる理由を以下に述べさせていただきます。

「 $2$a_n=n+[0.03*n]$ であるから $2$[0.03*n]$ の値の変わり目で $2$a_{n+1}=a_n+2$ となり、」

「 $2$[0.03*n]$ の値の変わり目」とはいったいどういうことでしょうか？
意味が分からなくはないですが，未熟な表現に思われます。
「変わり目」とは，[0.03(n+1)]=[0.03n]+1 となるような n の値を指すのでしょうから， $2$a_{n+1}=a_n+2$ と [0.03(n+1)]=[0.03n]+1 とが同値である，と書いた方がよっぽどましです。

「 $2$a_n=m$ に対して $2$a_{n+1}=m+1$ を満たす自然数nは存在しない。」

直前の文との論理的なつながりが不明です。
そもそも，なぜ m などという文字を使う必要があるのかよくわかりません。
また，例えば $2$a_2=a_1+1$ が成り立ちますから，この主張は間違っています。
この一文は不要だと思います。

「 $2$[0.03*n]$ =0を満たす最大のnは33」

これもまた唐突な主張です。内容は正しいのですが，これが解答の中でどういう位置づけの事実なのか，すぐにはわからない仕組みになっています。
つまり「最小の n」というのを求めなければならないのに，なんで「最大の n」について考えているのか，両者のつながりがすぐにはわかりません。
ここの部分は，「[0.03*n] の値の最初の『変わり目』は n=33 のときである」とでも書けばよかったのではないでしょうか。

僕の読解力では上のような分析が精一杯です。
何かしら参考になるといいのですが。

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■17000

　Re[2]: 図形と方程式

□投稿者/ KINO -(2006/09/02(Sat) 00:03:14)

■No16989に返信(U.Tさんの記事)

式変形のみでやっていくというのは面白いですが，x+y の最大値が 8 というのは間違いです。

与えられた条件は 1≦y≦x かつ 2x+y≦9.
x≦(9-y)/2 より，y≦x≦(9-y)/2 となり，これより y≦(9-y)/2 が x が存在するための必要十分条件です。
ゆえに 3y≦9 となり，y が取り得る値の範囲は 1≦y≦3 となります。
さて，1≦y≦3 の範囲で y を固定します。そうすると x は y≦x≦(9-y)/2 の範囲をくまなく取り得ます。
したがって，x+y の値は，2y≦x+y≦(9+y)/2 の範囲で変動します。よって x+y の最小値は 2y で，最大値は (9+y)/2 です。
最小値 2y の 1≦y≦3 における最小値は y=1 のときの 2*1=2 で，これが求める x+y の最小値。
最大値は (9+y)/2 の 1≦y≦3 における最大値で，それは y=3 のときの (9+3)/2=6 となります。

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■17064

　空間ベクトル

□投稿者/ pink -(2006/09/03(Sun) 17:49:55)

Ｏを原点とする座標空間に4点Ａ(4,0,0),Ｂ(0,8,0),Ｃ(0,0,4),Ｄ(0,0,2)がある｡
△ＡＢＣの重心をＧとすると直線ＯＧと平面ＡＢＤとの交点Ｐの座標を求めよ｡

これが問題です。とりあえずＧの座標ゎ(4/3,8/3,4/3)で平面ＡＢＤの方程式ゎ2x+y-8=0になったんですヶド分かりません↓↓平面の方程式ゎ自信もあんまりなくて…誰か分かったら教えて下さぃ。。。

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■17067

　Re[1]: 群数列について

□投稿者/ miyup -(2006/09/03(Sun) 21:25:50)

■No17066に返信(えりさんの記事)
> a[50]がm群にあるとすると、
> 1/2(m-1)(1+m-1)<50≦1/2*m(1+m)

ｋ群にはｋ個の数字があるので、１群からｋ群までの項数は１＋２＋…＋ｋ＝k(k+1)/2 個です。

a[50] は50項目（個目）の項なので、これがｍ群にあるとすると
ｍ－１群までの項数＜５０≦ｍ群までの項数
となります。

すなわち、(m-1)(m-1+1)/2＜50≦m(m+1)/2 となります。

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■17123

　Re[1]: 座標の求め方

□投稿者/ KINO -(2006/09/05(Tue) 00:32:58)

■No17120に返信(ゆみ　高２さんの記事)
> ・直線ｙ＝ｘ＋２に関して、点Ａ（13,4）と対称な点の座標を求めよ。
>
> ・・・・という問題ですが、全く分かりません。宜しくお願い致します。

対称な点を B(a,b) とおくと，直線 y=x+2 は線分 AB の垂直二等分線になっています。
この「垂直二等分線」ということはふたつの条件に分けられます：
垂直：(直線 AB の傾き)*(直線 y=x+2 の傾き)=-1 であること，
二等分：線分 AB の中点は y=x+2 上にあること。

直線 AB の傾きは (b-4)/(a-13)，直線 y=x+2 の傾きは 1.
よって {(b-4)/(a-13)}*1=-1.

AB の中点の座標は ((a+13)/2,(b+4)/2). これが直線 y=x+2 上にあるということから，(b+4)/2=(a+13)/2+2.

これらふたつの連立方程式を解けば，a, b が求まります。

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■17045

　関数の増減・極値の問題です。

□投稿者/ るな -(2006/09/02(Sat) 22:12:13)

下の問題がわからないので教えて下さい。

a,bを実数とする。
関数f(x)=x^3+ax^2+1/3*bx-1/3*(a^2+3a+2)
は極大値と極小値を持ち、その差は4/27である。
aとbの関係式を求めよ。
という問題です。

私はまず。f(x)を微分して、その微分したときの式が
3x^2+2ax+b/3
となったので、これが極大値と極小値を持つということから…何を使うんだろう？？となってしまいました。

よろしくお願いします。

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■17046

　Re[1]: 関数の増減・極値の問題です。

□投稿者/ 迷える子羊 -(2006/09/02(Sat) 22:20:55)

> 私はまず。f(x)を微分して、その微分したときの式が
> 3x^2+2ax+b/3
> となったので、これが極大値と極小値を持つということから…何を使うんだろう？？となってしまいました。
極大値と極小値を持つということから「f'(x)=0の符号変化が２回以上おこる」ということですね？

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