 | lim[a→∞]a_nのときは-1<r≦1・・・（１）
∑(∞)(n→1)の場合は-1<r<1・・・（２）
について、
（１）は公比rの等比数列が収束する範囲のことです。
例えば、-1<r<1の時は、lim[n→∞]r^n=0ですね。
r=1/2なら、1/2,1/4,1/8,1/16・・・と0に収束します。
r=1の時、1,1,1,1,1,1,・・・なので、1に収束します。
r=-1の時、-1,1,-1,1・・・振動するので発散
r<-1,r>1の時、発散します。
よって、lim[n→∞]r^nが収束する範囲は-1<r≦1になります。
（２）の場合は、無限等比級数が収束する範囲です。
無限等比級数の値は、lim[n→∞]Snで与えられるので、まずSnをもとめます。
a_n=a*r^(n-1)という数列(初項：a,公比：r)の第n項までの和は
Sn=a(1-r^n)/(1-r)になります。
次に、lim[n→∞]Snについて考えます。
Snが収束するためには、r^nの部分が収束しなければいけないので、
（１）の時から、-1<r<1の時に収束し
S=lim[n→∞]Sn＝a/(1-r) （←これが無限等比級数の値の公式）
しかし、r=1の時は、無限等比級数は
a+a+a+a+a+・・・・となるので、∞（-∞）になり発散します。
よって、無限等比級数が収束するための範囲は
-1<r<1となります。（1は駄目）
（３）「(tanx)^2≦1の部分について」
(tanx)^2=1がOKだとすると、tanx=1もしくはtanx=-1です
tanx=1なら、級数は
1+1+1+1+1+1+・・・
は∞になります。（tanx=-1も同様に発散）
問題では、「無限等比級数」が収束する範囲としているので
（２）を使うのが正しいと思います。
もし、((tanx)^2)^nという「数列」が収束する範囲なら
(tanx)^2≦１になります。
長くなりそうなので、他の質問の解答は次に書きます。
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