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■16697

　指数・対数に関する計算の問題です。

□投稿者/ るな -(2006/08/27(Sun) 21:21:37)

下の問題がわからないので、どなたか教えて下さい。

log_{10}2=0/3010,log_{10}3=0.4771とする。
(1)(1/45)^(54)で、小数点以下最初に０でない数字が現れるのは、小数第90位で、その数字は何か。
(2)18^(18)は23桁の数で、最高位の桁の数字は何か。
という問題です。

まず(1)からよろしくお願いします。
答えのところに(1/45)^(54)=10^(0.7272)*10^(-90)
と載っていたのですが、これがどこから出てきたのかわかりません。
お願いします。

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■16708

　Re[1]: 指数・対数に関する計算の問題です。

□投稿者/ miyup -(2006/08/27(Sun) 23:39:02)

2006/08/27(Sun) 23:42:53 編集(投稿者)

■No16697に返信(るなさんの記事)
> log_{10}2=0/3010,log_{10}3=0.4771とする。
> (1)(1/45)^(54)で、小数点以下最初に０でない数字が現れるのは、小数第90位で、その数字は何か。
>
> 答えのところに(1/45)^(54)=10^(0.7272)*10^(-90)
> と載っていたのですが、これがどこから出てきたのかわかりません。

log[10](1/45)^(54)
=-54log[10]45
=-54log[10](3^2*10/2)
=-54(2log[10]3+1-log[10]2)
=-89.2728
=-90+0.7272 より、(1/45)^(54)=10^(0.7272)*10^(-90)。

ここで、log[10]5=0.6990 < 0.7272 < 0.7781=log[10]6 より
10^log[10]5 < 10^0.7272 < 10^log[10]6
よって、5 < 10^0.7272 < 6

小数点以下最初に０でない数字が現れるのは、小数第90位で、その数字は 5。

> (2)18^(18)は23桁の数で、最高位の桁の数字は何か。

log[10]18^18=…=22.5936
ここで、log[10]3=0.4771 < 0.5936 < 0.3010*2=log[10]4 より 3 < 10^0.5936 < 4
よって、最高位の数字は 3。

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■16766

　Re[2]: 指数・対数に関する計算の問題です。

□投稿者/ るな -(2006/08/28(Mon) 21:14:49)

いつもいつもありがとうございます。

いままでに、何桁の数字かという問題はたくさん解いてきたのですが、その数字が何かという問題は今回が初めてでした。公式集も見てそのような公式がないか探してみたのですが、私の見た限りではありませんでした。

なので質問なのですが、なぜ
「ここで、log[10]5=0.6990 < 0.7272 < 0.7781=log[10]6 より
10^log[10]5 < 10^0.7272 < 10^log[10]6
よって、5 < 10^0.7272 < 6」という計算で求めたい数字を求めることが出来るのでしょうか？

よろしくお願いします。

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■16769

　Re[3]: 指数・対数に関する計算の問題です。

□投稿者/ miyup -(2006/08/28(Mon) 21:46:17)

2006/08/28(Mon) 21:46:55 編集(投稿者)

■No16766に返信(るなさんの記事)
端数部分の 10^0.7272 が実際にいくつか(=t)がわかれば、元の数は t×10^(-90) になるので、この数tが先頭の数になります。

> ここで、log[10]5=0.6990 < 0.7272 < 0.7781=log[10]6 より

0.7272 をはさむ log[10]x, log[10](x+1) の数値xを見つけます。→ x=5

> 10^log[10]5 < 10^0.7272 < 10^log[10]6

a<b<c → 10^a<10^b<10^c と変形し

> よって、5 < 10^0.7272 < 6

公式「 x^(log[x]y) = y 」を適用します。

よって、10^0.7272 は、5 と 6 の間の数値になるので、t=5.xxx… です。

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■16812

　Re[4]: 指数・対数に関する計算の問題です。

□投稿者/ るな -(2006/08/29(Tue) 21:11:04)

こんばんは。
ご丁寧にありがとうございました★
分かりました!!

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