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ヒット / 8件

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■21230

　スカラー場

□投稿者/ digi -(2007/01/23(Tue) 00:17:09)

スカラー場について質問です。

スカラー場で、点P(x, y, z)における等位面の方程式を
$2$\varphi(x,y,z)=c$ ・・・(1)
とする。等位面上の曲線を $2$\vec{a}=(x(t),y(t),z(t))$ とすれば、
$2$\varphi(x(t),y(t),z(t))=c$ ・・・(2)
となる。これは、(1)に(2)のx=x(t),y=y(t),z=z(t)を代入したということですよね？

それで、(2)式の両辺をtで微分すると、
$2$\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\frac{dz}{dt}=0$
となるそうですが、これが良く分かりません。右辺はもちろん分かりますが、左辺は微分したらなぜそれぞれの成分を微分したものの和になるのでしょうか？

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■21234

　Re[1]: スカラー場

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/23(Tue) 00:42:56)

digiさん，こんばんわ．

> スカラー場について質問です。
>
> スカラー場で、点P(x, y, z)における等位面の方程式を
> $2$\varphi(x,y,z)=c$ ・・・(1)
> とする。等位面上の曲線を $2$\vec{a}=(x(t),y(t),z(t))$ とすれば、
> $2$\varphi(x(t),y(t),z(t))=c$ ・・・(2)
> となる。これは、(1)に(2)のx=x(t),y=y(t),z=z(t)を代入したということですよね？

そうです．

>
> それで、(2)式の両辺をtで微分すると、
> $2$\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\frac{dz}{dt}=0$
> となるそうですが、これが良く分かりません。右辺はもちろん分かりますが、左辺は微分したらなぜそれぞれの成分を微分したものの和になるのでしょうか？

これについては，digiさんがお手持ちの「解析学」の教科書に必ず証明が載っているはずですので，そちらを参照してください．（「連鎖律」っていうキーワードで索引を調べて見てください）．

以下，証明の概略を示しておきます．
$2$ \phi(t+h)=\phi(t)+\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}\right)h+o(h)$
を示せばよい．
$2$ \Delta x = x(t+h)-x(t), \\ \Delta y = y(t+h)-y(t), \\ \Delta z = z(t+h)-z(t)$
とおくと，
$2$ \Delta x = \frac{dx}{dt}h+o(h), \\ \Delta y = \frac{dy}{dt}h+o(h), \\ \Delta z = \frac{dz}{dt}h+o(h)$
であるから，
$2$ \phi(t+h) = \phi(x(t+h),y(t+h),z(t+h)) \\ =\phi(x(t)+\Delta x, y(t)+\Delta y, z(t)+\Delta z) \\ =\phi(x(t),y(t),z(t))+\frac{\partial \phi}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \phi}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial \phi}{\partial z}\Delta z +o(r)$
ただし， $2$r=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}$
$2$ =\phi(t)+\frac{\partial \phi}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \phi}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial \phi}{\partial z}\Delta z +o(r) \\ =\phi(t)+\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}h+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}h+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}h+\frac{\partial \phi}{\partial x}o(h)+\frac{\partial \phi}{\partial y}o(h)+\frac{\partial \phi}{\partial z}o(h)+o(r) \\$
ここで，
$2$ \frac{\partial \phi}{\partial x}o(h)+\frac{\partial \phi}{\partial y}o(h)+\frac{\partial \phi}{\partial z}o(h) = o(h)$
また，
$2$ |\frac{r}{h}|\leq |\frac{\Delta x}{h}| + |\frac{\Delta y}{h}| + |\frac{\Delta z}{h}|\leq |\frac{dx}{dt}|+|\frac{dy}{dt}|+|\frac{dz}{dt}|+o(1)$
であるから，
$2$ o(r)=o(h)$
よって，
$2$ \phi(t+h)=\phi(t)+\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}\right)h+o(h)$
（証明終わり）

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■21236

　Re[1]: スカラー場

□投稿者/ 場」 -(2007/01/23(Tue) 01:02:08)

■No21230に返信(digiさんの記事)
> スカラー場について質問です。
>
> スカラー場で、点P(x, y, z)における等位面の方程式を
> $2$\varphi(x,y,z)=c$ ・・・(1)
> とする。等位面上の曲線を $2$\vec{a}=(x(t),y(t),z(t))$ とすれば、
> $2$\varphi(x(t),y(t),z(t))=c$ ・・・(2)
> となる。これは、(1)に(2)のx=x(t),y=y(t),z=z(t)を代入したということですよね？
>
> それで、(2)式の両辺をtで微分すると、
> $2$\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\frac{dz}{dt}=0$
> となるそうですが、これが良く分かりません。右辺はもちろん分かりますが、左辺は微分したらなぜそれぞれの成分を微分したものの和になるのでしょうか？

スカラー場のGrad(f)(X) は　...に直交し

内積　inner product　が　零　は　明々　白白。

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■21255

　Re[2]: スカラー場

□投稿者/ digi -(2007/01/23(Tue) 18:56:39)

申し訳ありません、私が読んでいるのは解析学の本ではなく、入門書のようなもので、「連鎖律」ということは書かれていません。ただ(2)式を微分すればこうなるとしか書かれていないのですが。もっと簡単な証明方法はないのでしょうか？

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■21261

　Re[3]: スカラー場

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/23(Tue) 23:57:28)

digiさんこんばんわ．

> 申し訳ありません、私が読んでいるのは解析学の本ではなく、入門書のようなもので、「連鎖律」ということは書かれていません。ただ(2)式を微分すればこうなるとしか書かれていないのですが。もっと簡単な証明方法はないのでしょうか？

うぅ～ん，「入門書」に値する部類の本でも，上記定理の証明は書いてあるはずなんだけど，難しいという理由で記述が削除されているかもしれませんねぇ～．．

証明に関しては，数学的には上記に示した以外に方法は無いのですが，議論が乱雑になりますが，もうちょと大雑把（もしくは，直感的にわかる）に書くと次のようになります．（ただし，以下は「説明」であって「証明」でないので注意してください．物理の試験なら○がもらえるかも知れませんが，数学の試験だと確実に×になります．．．）

$2$ \phi(t+\Delta t)-\phi(t) \\ =\phi(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t), z(t+\Delta t))-\phi(x(t),y(t),z(t)) \\ =\phi(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)-\phi(x,y,z)\\ =\left(\frac{\phi(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)-\phi(x,y+\Delta y, z+\Delta z)}{\Delta x}\right)\Delta x+\left(\frac{\phi(x,y+\Delta y, z+\Delta z)-\phi(x,y,z+\Delta z)}{\Delta y}\right)\Delta y+\left(\frac{\phi(x,y,z+\Delta z)-\phi(x,y,z)}{\Delta z}\right)\Delta z \\ =\frac{\partial \phi}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \phi}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial \phi}{\partial z}\Delta z$
よって，
$2$ \frac{d\phi}{dt} \\ =\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\phi(t+\Delta t)-\phi(t)}{\Delta t} \\ =\frac{\partial \phi}{\partial x}\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta z}{\Delta t} \\ =\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}$
ってな感じです．

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■21281

　Re[4]: スカラー場

□投稿者/ digi -(2007/01/24(Wed) 18:53:26)

こんなに長く説明していただきありがとうございます。
ただ3行目から4行目への変形が分かりません。解説していただけないでしょうか？

> $2$ \phi(t+\Delta t)-\phi(t) \\ =\phi(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t), z(t+\Delta t))-\phi(x(t),y(t),z(t)) \\ =\phi(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)-\phi(x,y,z)\\ =\left(\frac{\phi(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)-\phi(x,y+\Delta y, z+\Delta z)}{\Delta x}\right)\Delta x+\left(\frac{\phi(x,y+\Delta y, z+\Delta z)-\phi(x,y,z+\Delta z)}{\Delta y}\right)\Delta y+\left(\frac{\phi(x,y,z+\Delta z)-\phi(x,y,z)}{\Delta z}\right)\Delta z \\ =\frac{\partial \phi}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \phi}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial \phi}{\partial z}\Delta z$
> よって，
> $2$ \frac{d\phi}{dt} \\ =\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\phi(t+\Delta t)-\phi(t)}{\Delta t} \\ =\frac{\partial \phi}{\partial x}\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta z}{\Delta t} \\ =\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}$
> ってな感じです．
>

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■21287

　Re[5]: スカラー場

□投稿者/ ウルトラマン -(2007/01/24(Wed) 23:08:11)

digiさん，こんばんわ．

> こんなに長く説明していただきありがとうございます。
> ただ3行目から4行目への変形が分かりません。解説していただけないでしょうか？

$2$ \phi(t+\Delta t)-\phi(t) \\ =\phi(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t), z(t+\Delta t))-\phi(x(t),y(t),z(t)) \\ =\phi(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)-\phi(x,y,z)\\ =\left(\frac{\phi(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)-\phi(x,y+\Delta y, z+\Delta z)}{\Delta x}\right)\Delta x+\left(\frac{\phi(x,y+\Delta y, z+\Delta z)-\phi(x,y,z+\Delta z)}{\Delta y}\right)\Delta y+\left(\frac{\phi(x,y,z+\Delta z)-\phi(x,y,z)}{\Delta z}\right)\Delta z \\ =\frac{\partial \phi}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \phi}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial \phi}{\partial z}\Delta z$

えぇ～と，↑の３行目～４行目の式変形ですが，分かりにくければ，４行目の $2$()$ を分配法則でばらしてみてください．すると，３行目に一致することが分かります．

っで，なぜ３行目～４行目のような式変形をしたかというと， $2$\partial \phi/\partial x$ とか $2$\partial \phi/\partial y$ とか $2$\partial \phi/\partial z$ っていう式を作りたかったからです．

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■21337

　Re[6]: スカラー場

□投稿者/ digi -(2007/01/26(Fri) 17:43:14)

わかりました。どうもありがとうございます！

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