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■20204

　Re[1]: 体積

□投稿者/ ウルトラマン -(2006/12/22(Fri) 23:56:21)

ともこさん，こんばんわ．

> xz平面上の曲線z=x^2(|x|≦2)をｚ軸のまわりに回転させてxyz空間にできる回転体の容器を考える。
> (1)この容器の体積を求めよ。

これはサービス問題です． $2$z$ 軸の回転体の体積なので，
$2$ V_{1}=\displaystyle\int_{0}^{4}x^{2}dz \\ =\displaystyle\int_{0}^{4}zdz \\ =[\frac{1}{2}z^{2}]_{0}^{4} \\ =8$

となります．
> (2)この容器に水を満たし半径１の鉄球を沈めていく。鉄球が容器の壁に接触して
> 　　安定したとき、鉄球の中心のz座標を求めよ。

これは， $2$xz$ 平面で切ったときの状態を考えましょう．すると，鉄球の中心の座標を $2$(0,0,a)$ とおくと，鉄球の切断面（円）の方程式は，
$2$ x^{2}+(z-a)^{2} = 1$
と書けますから，これと
$2$ z=x^{2}$
より， $2$x^{2}$ を消去して，
$2$ z+(z-a)^{2} = 1 \\ \Longleftrightarrow z^{2}-(2a-1)z+(a^{2}-1)=0$
となり，鉄球と放物面が接するための必要十分条件は，これが $2$z>0$ の範囲に重回をもつことであるから，
$2$ 2a-1>0,\quad D=(2a-1)^{2}-4(a^{2}-1)=0 \\ \Longleftrightarrow a>\frac{1}{2},\quad -4a=-5 \\ \Longleftrightarrow a=\frac{5}{4}$
よって，鉄球の中心の座標は，
$2$ \left(0,0,\frac{5}{4}\right)$
となります．

> (3)鉄球により容器の底に閉じ込められた水の部分の体積を求めよ。

(2)のとき，円と放物線の接点の $2$z$ 座標は，
$2$ z^{2}-\frac{3}{2}z + \frac{9}{16} = 0 \\ \Longleftrightarrow \left(z-\frac{3}{4}\right)^{2}=0 \\ \Longleftrightarrow z=\frac{3}{4}$
であるから，求める体積は，
$2$ V_{2} = \displaystyle\int_{0}^{3/4}x^{2}dz - \displaystyle\int_{3/4}^{5/4}\left\{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}\right\}dz \\ =\cdots\cdots$
ってな感じで求めればよいです．

>
> どのようにすればよいのでしょうか？？
> どなたかお願いします。

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