 | 遅くなりまして大変申し訳ありません。
> ・p_1, ..., p_nをD内の曲線で結ぶ（弧状連結性を使う）
> ・それぞれの点と曲線を合わせたコンパクト集合Kを考える。
> ・Kを、Dに含まれる開円盤でおおう（Kの各点について、その点を中心としDをはみ出さない程度に小さな開円盤を考えればよい）
> ・Kのコンパクト性から、Kは上記の開円盤の内、有限個で覆える。それをD'とおく。
> ・D'の境界は有限個のジョルダン閉曲線になっているが、
「γを連続曲線とするとγの有限個の開被覆∪_{k=1..m}G_kの境界線lは閉曲線」は明らかですよね。
そして,
「この,lはJordan閉曲線(始点と終点以外は単射)になる」とは限りませんよね。
p_1とp_2を結んだ曲線がCの字の形をしてる場合は開被覆の採り方によっては,その開被覆の境界線lは始終点以外に交点が存在する場合がありますよね
(つまり,複数のJordan閉曲線が接するような形状…(ア))。
故にD'の境界は有限個の閉曲線(非Jordanの場合も有り得る)からなる。
もし,有限個の開被覆の境界線で開曲線になるものがあったとすると,
> その中の一つ（一番外側のもの）が求めるジョルダン閉曲線
これはイメージしやすいですね。
"一番外側の"をどのように数学的に表現すればいいのでしょうか?
また,nについて帰納法では証明できませんでしょうか?
n=2の時,今,D_1:=Dは(単)連結だからp_1とp_2とを結ぶ単純曲線l_1がD_1内に採れる(∵連結の定義)。
n=3の時,今,D_2:=D_1＼l_1∪{p_2}は(2重)連結だからp_2とp_3とを結ぶ単純曲線l_2がD_2内に採れる(∵連結の定義)。
n≧3の時,D_{n-1}:=D_{n-2}＼l_{n-2}∪p_{n-1}は(2重)連結だから,p_{n-2}とp_{n-1}とを結ぶ単純曲線l_{n-1}がD_{n-1}内に採れると仮定すると
nの時,D_n:=D_{n-2}＼l_{n-2}∪p_{n-1}は(2重)連結だから,p_{n-1}とp_nとを結ぶ単純曲線l_nがD_n内に採れる。
従って,Dにp_1,p_2,…,p_nが与えられた時,p_1,p_2,…,p_nを順に結ぶ単純曲線l:=l_1∪l_2∪…∪l_nがD内に採れる。
以上から,
「単連結領域D内に端点を含む単純開曲線lが与えられた時,lを囲むJordan閉曲線Jが採れる」を証明する事に帰着しますね。
これについては,
l上の任意の点xについてD⊃Ball(x,ε)なるxを中心とする半径εの開球が採れる(∵xはDの内点だから)。
この時,∃ε_0>0;D⊃Ball(x,ε_0) for∀x∈lが言える。つまり,xに依らないε_0が存在する。
これが言える理由は
もし,for∀ε>0に対し,∃x_0∈l;D⊃Ball(x_0,ε)とはならないなら,このx_0はもはやDの内点ではない。この事はlが開集合Dに含まれる事に反する。
従って,
B:={Ball(x,ε_0);x∈l}はDに含まれるlの開被覆の一つになっている。lは閉集合であるからコンパクト集合である。
よって,Bから有限個の部分開被覆Ball(x_1,ε_0),Ball(x_2,ε_0),…,Ball(x_n,ε_0) (但し,x_1,x_2,…,x_n∈l)が存在し,∪_{k=1..n}Ball(x_k,ε_0)は非連結。
故に,J:=Bd(∪_{k=1..n}Ball(x_k,ε_0))と採ればJはlを囲むJordan閉曲線となる。すなわち,Jはp_1,p_2,…,p_nを囲むJordan閉曲線である
(但し,Bd( )は境界点集合を表す記号)。
ではいかがでしょうか? |