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■23392  図形と方程式
□投稿者/ 巡査部長 -(2007/03/29(Thu) 23:16:12)
    F:y=x^2、A(p,q)(ただし、q>p^2…@)とする。
    Aを通る、y軸と平行でない直線LとFの2交点をP,Qとすると、@を満たす任意のp,qに対して、AがPQの中点となるような2点P,Qが存在することを示せ。

    この問題を教えてください。
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■23396  Re[1]: 図形と方程式
□投稿者/ miyup -(2007/03/29(Thu) 23:59:44)
    2007/03/30(Fri) 00:01:19 編集(投稿者)

    No23392に返信(巡査部長さんの記事)
    > F:y=x^2、A(p,q)(ただし、q>p^2…@)とする。
    > Aを通る、y軸と平行でない直線LとFの2交点をP,Qとすると、@を満たす任意のp,qに対して、AがPQの中点となるような2点P,Qが存在することを示せ。
    @は点AがFの上側(放物線の「内側」)にあることを示しています。
    点Aを通り傾きmの直線は、y=m(x-p)+q…A
    この直線とFとの2交点のx座標は、x^2=m(x-p)+q すなわち x^2-mx+mp-q=0 の2解。
    この2解をα,βとおくと、解と係数の関係より、α+β=m
    よって2交点の中点のx座標は (α+β)/2=m/2 で、これが p と等しいとき m/2=p
    すなわち m=2p で、@を満たす任意の p を与えると傾き m が決まり、Aが確定する。
    このことは、点Aを与えるとそれが中点になるような直線を必ず作れることを意味する。
    よって、点AがPQの中点となるような2点P,Qが存在するといえる。
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