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■52399 / 1階層) 　ガウス整数の平方和
□投稿者/ WIZ 一般人(8回)-(2023/12/02(Sat) 23:59:39)
    a, bを有理整数とすれば、
    (a+2bi)-(1+bi)^2 = a-1+b^2

    また、a-1+b^2は有理整数なので、奇数なら質問者さんの示した方法の通り、
    a-1+b^2 = (2個以下のガウス整数の平方の和)
    と表せる。

    次に、(x^2+y^2)(p^2+q^2) = (xp+yq)^2+(xq-yp)^2という関係式を用いると、
    # 2個以下の平方数の和となる数同志の積も2個以下の平方数の和となるということ。
    2 = 1^2+1^2であることから、2の自然数乗は2個以下の自然数の平方の和と言える。

    a-1+b^2が偶数なら、
    a-1+b^2 = (2の自然数乗)*(奇数)
    = (2個以下の自然数の平方の和)*(2個以下のガウス整数の平方の和)
    = (2個以下のガウス整数の平方の和)
    と表せる。

    よって、
    a+2bi = (1+bi)^2+(2個以下のガウス整数の平方の和)
    と3個以下の和となりますね。
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