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■52398 / 1階層) 　ガウス整数の平方和
□投稿者/ きんぴら5号 一般人(5回)-(2023/12/02(Sat) 16:25:27)
    自己レスです。
    恒等式(n+1)^2-n^2=2n+1を使うと、実整数aに対して実整数nが存在して
    aが奇数ならばa=(n+1)^2+(ni)^2と表せますし、
    aが偶数ならばa=(n+1)^2+(ni)^2+1^2と表せます。
    つまり、実整数aは3個以下のガウス整数の平方数の和に表せることになります。

    また、(1+i)^2=2iなので、実整数bに対してガウス整数p,q,rが存在して
    b*2i=(p^2+q^2+r^2)(1+i)^2と2biも3個以下のガウス整数の平方数の和に表せることが分かります。

    纏めれば、a+2biというガウス整数は6個以下ガウス整数の平方数の和に表せると言えると思います。
    勿論、高々6個ということが示せただけで上手く選べばもっと少ない個数にできるのかもしれません。

    もっと少ない個数で足りるという証明がありましたら教えてください。
    よろしくお願いいたします。
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