□投稿者/ ポートニック 一般人(7回)-(2020/12/14(Mon) 03:29:08)
 | [3] の後半となります.つまり漸近線を求めること.
平面アフィン代数曲線における漸近線とは
対応する射影曲線上の無限遠点における接線である
そこで 3x^2+12xy+4x+8y^2+6y+1 を斉次化し
g(x,y,z)=3x^2+12xy+4xz+8y^2+6yz+z^2 を得る
C上の射影曲線D:g(x,y,z) = 0 を定める.
ここで直線z=0は無限遠直線を表している
[a:b:c]をDとz=0との交点とすれば,
3a^2+12ab+8b^2 = 0 であるので
D上の無限遠点はちょうど2つ存在し,
それは [α:1:0] と [β:1:0] である
ここでα,βは 3t^2+12t+8=0 の異なる2根である
よって,求める漸近線はちょうど2本存在し,
(∂g(u)/∂x)x + (∂g(u)/∂y)y + (∂g(u)/∂y)z = 0 で定まるものに対応する
ここで uはD上の無限遠点とする
具体的に求めてみる:
∂g/∂x = 6x + 12y + 4z
∂g/∂y = 12x + 16y + 6z
∂g/∂z = 4x + 6y + 2z
γはαまたはβのいずれかとする.
∂g(u)/∂x = 6γ + 12
∂g(u)/∂x = 12γ + 16
∂g(u)/∂z = 4γ + 6
よって, (6γ + 12)x + (12γ + 16)y + (4γ + 6)z = 0
これを非斉次化すれば
(6γ + 12)x + (12γ + 16)y + (4γ + 6) = 0
簡約すれば
(9γ+42)x + (-6γ+24)y + 13 = 0
あるいは
y = (-3γ/8 - 3/2)x - γ/16 - 1/2
以下の2本が求める漸近線となる:
y = (-3-√3)x/4 -√3/24 - 3/8
y = (-3+√3)x/4 +√3/24 - 3/8
平面曲線:16x^2+60xy+20x+27y^2+24y+4 = 0
についても全く同様の手法で以下の2本を得る:
y = (-10-2√ 13)x/9 - 5√13/117 - 4/9
y = (-10+2√ 13)x/9 + 5√13/117 - 4/9
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/ nomi (20/06/16(Tue) 05:32) #50369 
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