□投稿者/ ポートニック 一般人(5回)-(2020/12/14(Mon) 03:20:03)
 | [1]は考えている代数構造が問題文からではハッキリしないので
(以降の問題文からZ[x,y]上で分解する問題だと推測できるけれど)
[1]については2変数の複素係数多項式環C[x,y]上で考えることにします
これだとそこそこ一般的なので悪くはないとおもいます
(ただCまで拡張しても答えは同じになります)
問題の多項式を f(x,y)∈C[x,y]とおく.
f(x,y)が2次の因子を持つならば,
ある次数2のg(x,y)∈C[x,y]が存在して
f(x,y)≡0 (mod g(x,y)) が成立する.
つまり剰余環R=C[x,y]/(g)にて fの像は消える
計算のために g(x,y)=x^2-axy-by^2-cx-dy-e とおく
RはC上の無限次元ベクトル空間で
基底として(x^i*y^j) (i∈{0,1},0≦j) が取れる
このことから問題は連立方程式の問題に帰着される
計算により,a,b,c,d,eの組は2通りに決まり
いずれの場合も k=916 を得る
(ちなみに可約まで拡張しても k=916 しかありません)
k=916 のとき
f(x,y) = (3x^2+12xy+4x+8y^2+6y+1)(16x^2+60xy+20x+27y^2+24y+4)
(2)は最後の問題の一部なので 飛ばして次は[3]にうつります
最後の問題はなぜか同じ番号がふられていますが勝手に[4]とします
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/ nomi (20/06/16(Tue) 05:32) #50369 
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