□投稿者/ ポートニック 一般人(6回)-(2020/12/14(Mon) 03:26:53)
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このページでは2次曲線の分類を行います
結論からいうと共に双曲線である
2次曲線の分類は与えられた係数のみで行うことができる
一般の ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f = 0 で与えられる2次曲線の分類は以下の通り:
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以下のように対称行列A,Bと定数kを定める.
A=[[a,b],[b,c]],B=[[a,b,d],[b,c,e],[d,e,f]]
k = det[[a,b],[b,c]]+det[[a,d],[d,f]]+det[[c,e],[e,f]]
(1) det(A)＞0 のとき
det(B)*tr(A)＜0 ならば 楕円
det(B)*tr(A)=0 ならば 1点集合
det(B)*tr(A)＞0 ならば 空集合
(2) det(A)＜0 のとき
det(B)≠0 ならば 双曲線
det(B)=0 ならば 交わる2直線
(3) det(A)=0 のとき
det(B)≠0 ならば 放物線
det(B)=0 のときは kの値によって以下の3通りがある:
・k＜0 ならば 平行な2直線
・k = 0 ならば 1つの直線
・k＞0 ならば 空集合
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3x^2+12xy+4x+8y^2+6y+1 について
ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f の形にすると
a=3,b=6,c=8,d=2,e=3,f=1 である
今回のケースでは det(A)= -12 ＜0 であるから
3x^2+12xy+4x+8y^2+6y+1=0 が表す2次曲線は
双曲線または交わる2直線に分類される
その2つをさらに区別するには
det(B)が0であるかどうかをチェックすればよい
今回のケースでは det(B)= 1≠0 であるから
交わる2直線にはならず,「双曲線に分類される」
もう片方の2次曲線についても同様である
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全ての 整数解 等
/ nomi (20/06/16(Tue) 05:32) #50369 
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