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■52499 / 2階層) 　整数の表現の同値証明
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2024/04/08(Mon) 02:09:16)
    2024/04/08(Mon) 02:21:28 編集(投稿者)

    コツはよくわかりません。上の変形も簡単に思いついたわけではないです。
    ただ、x^2+3y^2という形は見覚えがありましたし、
    u=x+y, v=x-y のような置き換えはよくありますので前半はこれでわかりました。
    後半は、u=2k, v=2m+1をu^2+uv+v^2に代入し、その結果を○^2+3△^2の形に
    分けることができるか、のように考えました。

    ちなみに
    x^2+xy+y^2=1 という楕円は x^2+3y^2=2 という楕円を45°回転したものです。
    楕円を回転させるとき、u=(x+y)/2, v=(x-y)/2 のような変換をすることが
    ありますので、これの関連から考えました。
    また
    「x^2+xy+y^2=1のとき、x+yの最大値を求めよ」のような問題でも
    x=u+v, y=u-vのような置き換えをすることがあり、x^2+3y^2という形は
    その問題で見覚えがあった式でした。
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