数学ナビゲーター掲示板 [One Message View / Re[1]: 整数の表現の同値証明]

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　整数の表現の同値証明

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2024/04/07(Sun) 20:08:31)

任意のx,yに対して
u=y-x, v=y+xとおくと
u^2+uv+v^2=x^2+3y^2
なので、n=x^2+3y^2と表せればn=u^2+uv+v^2と表せる。

u,vの偶奇が同じであるとき
x=(v-u)/2, y=(v+u)/2とおくと
x^2+3y^2=u^2+uv+v^2
なので、n=u^2+uv+v^2と表せればn=x^2+3y^2と表せる。

u,vの偶奇が異なるとき、u=2k, v=2m+1として
x=k+2m+1, y=kとおくと
x^2+3y^2=u^2+uv+v^2
なので、n=u^2+uv+v^2と表せればn=x^2+3y^2と表せる。

従って(A)と(B)は同値。

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