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　複素数の関数

□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2020/08/14(Fri) 09:27:02)

問題文は合ってますか?

「z∈Hに対し関数f(z)を～」は f(z) の定義域は H 全体、
「f(z)の値域がHの部分集合」は z が H 全体を動いても常に f(z) の虚部が正ということですよね?

i を虚数単位、x, y を実数、y > 0 として z = x+yi とおきます。

f(z) = (z+a)/(2z+1)
= ((x+yi)+a)/(2(x+yi)+1)
= {((x+a)+yi)((2x+1)-yi)}/{(2x+1)+yi)((2x+1)-yi)}
= {((x+a)(2x+1)+y^2)+((2x+1)y-(x+a)y)i}/{(2x+1)^2+y^2}
= {(2x^2+(2a+1)x+a+y^2)+(xy+(1-a)y)i}/{(2x+1)^2+y^2}

f(z) ∈ H である為には、(xy+(1-a)y)/{(2x+1)^2+y^2} > 0 となることが必要です。
y > 0 かつ 1/{(2x+1)^2+y^2} > 0 だから x+1-a > 0 でなければなりません。
つまり、x > a-1 という制限がついてしまい、z = x+yi が H 全体を動くことができません。
従って、題意を満たす関数 f(z) は存在しないということになります。
# a = -∞ なら x は実数全体を動けるなんていうオカルト数学的なオチじゃないですよね?

題意の f(z) が存在しないならば、その値域をどの様に解釈しても矛盾はしません。
だから、「f(z) の値域が H の部分集合なら、それは H 自身である」という言明は数学的に真でも偽でも良い訳です。
なので、上記言明は真であると結論した、ということでしょうか?
高校数学なら出題者がそんな結論を期待しているとは思えないので、やはり問題文が間違っていると思います。

# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!

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Comment/ 通常モード->　図表モード-> (適当に改行して下さい/半角10000文字以内) ■No50442に返信(WIZさんの記事) > 問題文は合ってますか? > > 「z∈Hに対し関数f(z)を～」は f(z) の定義域は H 全体、 > 「f(z)の値域がHの部分集合」は z が H 全体を動いても常に f(z) の虚部が正ということですよね? > > i を虚数単位、x, y を実数、y > 0 として z = x+yi とおきます。 > > f(z) = (z+a)/(2z+1) > = ((x+yi)+a)/(2(x+yi)+1) > = {((x+a)+yi)((2x+1)-yi)}/{(2x+1)+yi)((2x+1)-yi)} > = {((x+a)(2x+1)+y^2)+((2x+1)y-(x+a)y)i}/{(2x+1)^2+y^2} > = {(2x^2+(2a+1)x+a+y^2)+(xy+(1-a)y)i}/{(2x+1)^2+y^2} > > f(z) ∈ H である為には、(xy+(1-a)y)/{(2x+1)^2+y^2} > 0 となることが必要です。 > y > 0 かつ 1/{(2x+1)^2+y^2} > 0 だから x+1-a > 0 でなければなりません。 > つまり、x > a-1 という制限がついてしまい、z = x+yi が H 全体を動くことができません。 > 従って、題意を満たす関数 f(z) は存在しないということになります。 > # a = -∞ なら x は実数全体を動けるなんていうオカルト数学的なオチじゃないですよね? > > 題意の f(z) が存在しないならば、その値域をどの様に解釈しても矛盾はしません。 > だから、「f(z) の値域が H の部分集合なら、それは H 自身である」という言明は数学的に真でも偽でも良い訳です。 > なので、上記言明は真であると結論した、ということでしょうか? > 高校数学なら出題者がそんな結論を期待しているとは思えないので、やはり問題文が間違っていると思います。 > > # 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!
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