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■50446 / 1階層) 　複素数の関数
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2020/08/14(Fri) 09:55:30)
    素朴にやってできると思います。

    z=x+yi として、f(z)を（分母の共役を分子分母にかけて） fr(x)+fi(y)i の形に書けば、
    「f(z)の値域がHの部分集合となる」は
    y>0 ならば　fi(y)>0
    といってますから、まずこの条件(*)を求めます。

    この時に、f(z)の値域がH全体になることをいうのですが、この場合は逆写像gが簡単に求まるのでそれを使えば楽でしょう。
    つまり、w=f(z) をzについて解いて、z=g(w)　としたとき、
    w∈H なら、z∈H がいえれば w∈Hについてw=f(z)となるz∈Hがあることがわかったので、証明終です。
    それには、w=a+bi,g(a+bi)=gr(a)+gi(b)i とするとき、(*)かつ b>0 なら gi(b)>0がいえればOKです。

    参考までに、手元の計算では、(*)は a<1/2 となりました。

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