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■52504 / 1階層) 　高校数学 整数問題
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2024/04/12(Fri) 23:02:04)
    n＜0のとき明らかに解が存在しないので、n≧0とする。
    nが偶数のとき(左辺)≡1(mod 4)
    nが奇数のとき(左辺)≡3(mod 4)
    平方数を4で割った余りは0か1なので、
    右辺を4で割った余りは1か2。
    よってnが奇数のとき解は存在しない。
    nが偶数のとき、n=2mとおくと
    3^(2m)=k^2-7
    k^2-(3^m)^2=7
    (k+3^m)(k-3^m)=7
    7は素数なので2整数の積にすると1×7または(-1)×(-7)となり、
    2数の差は±6。
    (k+3^m)-(k-3^m)=2(3^m)なので、2(3^m)=±6から適解はm=1のみ。
    よってn=2m=2なので、k^2=3^2+7=16となり、k=±4。
    従って解は (k,n)=(±4,2)。

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