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■52501 / inTopicNo.1)  高校数学 整数問題
  
□投稿者/ 関 一般人(1回)-(2024/04/12(Fri) 21:18:16)
    3^n = k^2 - 7
    を満たす整数の組 (k,n) をすべて求める。
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■52502 / inTopicNo.2)  Re[1]: 高校数学 整数問題
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2024/04/12(Fri) 22:41:07)
    2024/04/12(Fri) 22:42:14 編集(投稿者)

    k^2-7は整数なので、3^nも整数であり、よってn ≧ 0です。

    3^n ≡ k^2 (mod 7)となりますが、7の剰余類において3は平方数に合同にはなりません。
    # このことを「3は法7の平方非剰余である」と言います。
    # 7の剰余類は、0^2 ≡ 0, 1^2 ≡ 6^2 ≡ 1, 2^2 ≡ 5^2 ≡ 4, 3^2 ≡ 4^2 ≡ 2 (mod 7)
    # と3が平方剰余でないことが確認できます。

    よって、nは偶数ではなくてはならないので、mを非負整数としてn = 2mとおけます。

    3^n = k^2-7
    ⇒ 7 = k^2-3^(2m) = (k-3^m)(k+3^m)

    k-3^mもk+3^mも整数で、k-3^m < k+3^mです。
    その積が7に等しいので、(k-3^m, k+3^m) = (-7, -1)(1, 7)となります。

    (1) (k-3^m, k+3^m) = (-7, -1)とすると、
    (k-3^m)+(k+3^m) = (-7)+(-1)
    ⇒ 2k = -8
    ⇒ k = -4

    (k-3^m)-(k+3^m) = (-7)-(-1)
    ⇒ (-2)(3^m) = -6
    ⇒ m = 1, n = 2

    (2) (k-3^m, k+3^m) = (1, 7)とすると、
    (k-3^m)+(k+3^m) = 1+7
    ⇒ 2k = 8
    ⇒ k = 4

    (k-3^m)-(k+3^m) = 1-7
    ⇒ (-2)(3^m) = -6
    ⇒ m = 1, n = 2

    以上から、(k, n) = (-4, 2)(4, 2)
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■52503 / inTopicNo.3)  Re[2]: 高校数学 整数問題
□投稿者/ 関 一般人(2回)-(2024/04/12(Fri) 22:56:17)
    すばやい回答まことにありがとうございました。深く感謝申し上げます。
解決済み!
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■52504 / inTopicNo.4)  Re[1]: 高校数学 整数問題
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2024/04/12(Fri) 23:02:04)
    n<0のとき明らかに解が存在しないので、n≧0とする。
    nが偶数のとき(左辺)≡1(mod 4)
    nが奇数のとき(左辺)≡3(mod 4)
    平方数を4で割った余りは0か1なので、
    右辺を4で割った余りは1か2。
    よってnが奇数のとき解は存在しない。
    nが偶数のとき、n=2mとおくと
    3^(2m)=k^2-7
    k^2-(3^m)^2=7
    (k+3^m)(k-3^m)=7
    7は素数なので2整数の積にすると1×7または(-1)×(-7)となり、
    2数の差は±6。
    (k+3^m)-(k-3^m)=2(3^m)なので、2(3^m)=±6から適解はm=1のみ。
    よってn=2m=2なので、k^2=3^2+7=16となり、k=±4。
    従って解は (k,n)=(±4,2)。

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■52505 / inTopicNo.5)  Re[2]: 高校数学 整数問題
□投稿者/ 関 一般人(3回)-(2024/04/13(Sat) 07:56:53)
    回答まことにありがとうございました。

    簡潔な記述ですね。解答作成の参考になります。
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