□投稿者/ ポテトフライ 一般人(1回)-(2024/02/24(Sat) 19:17:01)
 | ＞cov[X1,(X1+X2+X3)/3]=(1+ρ12+ρ31)/3ですか？
はい、そうです。
まずE[X_i]=0と期待値の線形性からE[(X_1+X_2+X_3)/3]=(E[X_1]+E[X_2]+E[X_3])/3=0
またX_iは標準化されているのでV[X_i]=E[(X_i-E[X_i])^2]=E[X_i^2]=1
さらにCov(X_i,X_j)=E[(X_i-E[X_i])*(X_j-E[X_j])]=E[X_i,X_j]
＞XiとXjの相関係数は共分散と等しくなる。
よって
Cov(X_1,(X_1+X_2+X_3)/3)
=E[(X_1-E[X_1])*( (X_1+X_2+X_3)/3-E[(X_1+X_2+X_3)/3])]
=E[X_1*(X_1+X_2+X_3)/3]
=(E[X_1^2]+E[X_1*X_2]+E[X_1*X_3])/3
=(V[X_1]+Cov(X_1,X_2)+Cov(X_1,X_3))/3
=(1+ρ_{12}+ρ_{13})/3
＞X1とX1/3の共分散は1/3ですか？
はい、そうです。
Cov（X_1、X_1/3）=E[X_1*(X_1/3)]=E[X_1^2]/3=V[X_1]/3=1/3
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